Question

【題目】已知函數(shù) (， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）的最大值為1.

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)a的正負(fù)討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定極值，（2）先將無(wú)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，再利用導(dǎo)數(shù)研究取值范圍，即得，即得的取值范圍是，從中確定的最大值.

試題解析：（Ⅰ） ，

①當(dāng)時(shí)， ， 為上的增函數(shù)，所以函數(shù)無(wú)極值.

②當(dāng)時(shí)，令，得， .

， ； ， .

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故在處取得極小值，且極小值為，無(wú)極大值.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極小值；

當(dāng)， 在處取得極小值，無(wú)極大值.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， .

直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，

等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于的方程：

在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解.

①當(dāng)時(shí)，方程可化為，在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解.

②當(dāng)時(shí)，方程化為.

令，則有

令，得，

當(dāng)變化時(shí)， 的變化情況如下表：

		-1
	-	0	+
	↘		↗

當(dāng)時(shí)， ，同時(shí)當(dāng)趨于時(shí)， 趨于，

從而的取值范圍為.

所以當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，

解得的取值范圍是.

綜上，得的最大值為1.