Question

【題目】某部門(mén)在同一上班高峰時(shí)段對(duì)甲、乙兩地鐵站各隨機(jī)抽取了50名乘客，統(tǒng)計(jì)其乘車(chē)等待時(shí)間（指乘客從進(jìn)站口到乘上車(chē)的時(shí)間，乘車(chē)等待時(shí)間不超過(guò)40分鐘）．將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按分組，制成頻率分布直方圖：

假設(shè)乘客乘車(chē)等待時(shí)間相互獨(dú)立．

(1)在上班高峰時(shí)段，從甲站的乘客中隨機(jī)抽取1人，記為；從乙站的乘客中隨機(jī)抽取1人，記為.用頻率估計(jì)概率，求“乘客,乘車(chē)等待時(shí)間都小于20分鐘”的概率；

(2)從上班高峰時(shí)段,從乙站乘車(chē)的乘客中隨機(jī)抽取3人，表示乘車(chē)等待時(shí)間小于20分鐘的人數(shù)，用頻率估計(jì)概率，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（I）根據(jù)頻率分布直方圖分別計(jì)算出兩個(gè)乘客等待時(shí)間小于分鐘的頻率，按照相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出“乘客,乘車(chē)等待時(shí)間都小于20分鐘”的概率.（II）根據(jù)二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式以及數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，求得的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解：（Ⅰ）設(shè)表示事件“乘客乘車(chē)等待時(shí)間小于20分鐘”，表示事件“乘客乘車(chē)等待時(shí)間小于20分鐘”，表示事件“乘客乘車(chē)等待時(shí)間都小于20分鐘”．

由題意知，乘客乘車(chē)等待時(shí)間小于20分鐘的頻率為

，故的估計(jì)值為．

乘客乘車(chē)等待時(shí)間小于20分鐘的頻率為

，故的估計(jì)值為．

又.

故事件的概率為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘車(chē)等待時(shí)間小于20分鐘的頻率為，

所以乙站乘客乘車(chē)等待時(shí)間小于20分鐘的概率為.

顯然，的可能取值為且.

所以；；

；.

故隨機(jī)變量的分布列為

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