【題目】如圖,在多面體中,平面平面.四邊形為正方形,四邊形為梯形,且

(1)求證:

(2)求直線與平面所成角的正弦值;

(3)線段上是否存在點(diǎn),使得直線平面若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(Ⅰ)詳見解析;(;()線段上存在點(diǎn),使得平面,且

【解析】

I)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,證得平面,由此證得.(II)以軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,通過計(jì)算直線的方向向量和平面的法向量,由此計(jì)算出線面角的正弦值.(III)設(shè),用表示出點(diǎn)的坐標(biāo),利用直線的方向向量和平面的法向量垂直列方程,解方程求得的值,由此判斷存在符合題意的點(diǎn).

解:(Ⅰ)證明:因?yàn)?/span>為正方形,

所以

又因?yàn)槠矫?/span>平面,

且平面平面

所以平面

所以

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,平面,所以,

因?yàn)?/span>,所以兩兩垂直.

分別以軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).

因?yàn)?/span>

所以

所以

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,則,

所以

設(shè)直線與平面所成角為

(Ⅲ)設(shè),

設(shè),則,

所以,所以,

所以

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則

因?yàn)?/span>,所以

,則,所以

在線段上存在點(diǎn),使得平面等價(jià)于存在,使得

因?yàn)?/span>,由,

所以

解得,

所以線段上存在點(diǎn),使得平面,且

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的方程為,.

1)若直線軸、軸上的截距之和為-1,求坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離;

2)若直線與直線分別相交于、兩點(diǎn),點(diǎn)、兩點(diǎn)的距離相等,求的值.

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【題目】近年電子商務(wù)蓬勃發(fā)展, 年某網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)“雙”一天的銷售業(yè)績(jī)高達(dá)億元人民幣,平臺(tái)對(duì)每次成功交易都有針對(duì)商品和快遞是否滿意的評(píng)價(jià)系統(tǒng).從該評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出次成功交易,并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),網(wǎng)購(gòu)者對(duì)商品的滿意率為,對(duì)快遞的滿意率為,其中對(duì)商品和快遞都滿意的交易為次.

(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并回答能否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購(gòu)者對(duì)商品滿意與對(duì)快遞滿意之間有關(guān)系”?

對(duì)快遞滿意

對(duì)快遞不滿意

合計(jì)

對(duì)商品滿意

對(duì)商品不滿意

合計(jì)

(2)為進(jìn)一步提高購(gòu)物者的滿意度,平臺(tái)按分層抽樣方法從中抽取次交易進(jìn)行問卷調(diào)查,詳細(xì)了解滿意與否的具體原因,并在這次交易中再隨機(jī)抽取次進(jìn)行電話回訪,聽取購(gòu)物者意見.求電話回訪的次交易至少有一次對(duì)商品和快遞都滿意的概率.

附: (其中為樣本容量)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某部門在同一上班高峰時(shí)段對(duì)甲、乙兩地鐵站各隨機(jī)抽取了50名乘客,統(tǒng)計(jì)其乘車等待時(shí)間(指乘客從進(jìn)站口到乘上車的時(shí)間,乘車等待時(shí)間不超過40分鐘).將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按分組,制成頻率分布直方圖:

假設(shè)乘客乘車等待時(shí)間相互獨(dú)立.

(1)在上班高峰時(shí)段,從甲站的乘客中隨機(jī)抽取1人,記為;從乙站的乘客中隨機(jī)抽取1人,記為.用頻率估計(jì)概率,求“乘客,乘車等待時(shí)間都小于20分鐘”的概率;

(2)從上班高峰時(shí)段,從乙站乘車的乘客中隨機(jī)抽取3人,表示乘車等待時(shí)間小于20分鐘的人數(shù),用頻率估計(jì)概率,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某部門在同一上班高峰時(shí)段對(duì)甲、乙兩地鐵站各隨機(jī)抽取了50名乘客,統(tǒng)計(jì)其乘車等待時(shí)間(指乘客從進(jìn)站口到乘上車的時(shí)間,乘車等待時(shí)間不超過40分鐘).將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按分組,制成頻率分布直方圖:

假設(shè)乘客乘車等待時(shí)間相互獨(dú)立.

(1)在上班高峰時(shí)段,從甲站的乘客中隨機(jī)抽取1人,記為;從乙站的乘客中隨機(jī)抽取1人,記為.用頻率估計(jì)概率,求“乘客,乘車等待時(shí)間都小于20分鐘”的概率;

(2)從上班高峰時(shí)段,從乙站乘車的乘客中隨機(jī)抽取3人,表示乘車等待時(shí)間小于20分鐘的人數(shù),用頻率估計(jì)概率,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知圓,直線,若直線上存在點(diǎn),過點(diǎn)引圓的兩條切線,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )

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C. D.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn)

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)點(diǎn),點(diǎn)軸上,過點(diǎn)的直線交橢圓交于,兩點(diǎn).

①若直線的斜率為,且,求點(diǎn)的坐標(biāo);

②設(shè)直線,,的斜率分別為,,,是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】現(xiàn)擬建一個(gè)糧倉(cāng),如圖1所示,糧倉(cāng)的軸截而如圖2所示,EDECADBC,BCAB,EFABCDEF于點(diǎn)G,EFFC10m

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【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左頂點(diǎn)為A,左焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓C上,直線與橢圓C交于E,F兩點(diǎn),直線AE,AF分別與y軸交于點(diǎn)M,N

求橢圓C的方程;

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