(本題滿分13分)如圖,分別過橢圓:左右焦點(diǎn)、的動(dòng)直線相交于點(diǎn),與橢圓分別交于不同四點(diǎn),直線的斜率、、、滿足.已知當(dāng)軸重合時(shí),,.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在定點(diǎn),使得為定值.若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo)并求出此定值,若不存在,說明理由.
(1) (2)M、N坐標(biāo)分別為;為定值
解析試題分析:(1)由已知條件推導(dǎo)出|AB|=2a=2,|CD|=,由此能求出橢圓E的方程.
(2)焦點(diǎn)F1、F2坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),當(dāng)直線l1或l2斜率不存在時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)或(1,0),當(dāng)直線l1,l2斜率存在時(shí),設(shè)斜率分別為m1,m2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由,得(2+3m12)x2+6m12x+3m12?6=0,由此利用韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能推導(dǎo)出存在點(diǎn)M,N其坐標(biāo)分別為(0,-1)、(0,1),使得|PM|+|PN|為定值2.
(1)當(dāng)l1與x軸重合時(shí),,即, 2分
∴l(xiāng)2垂直于x軸,得,,(4分)
得,, ∴橢圓E的方程為. 5分
(2)焦點(diǎn)、坐標(biāo)分別為(—1,0)、(1,0).
當(dāng)直線l1或l2斜率不存在時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為(—1,0)或(1,0). 6分
當(dāng)直線l1、l2斜率存在時(shí),設(shè)斜率分別為,,設(shè),,
由得:,
∴,.(7分)
,
同理. 9分
∵,∴,即.
由題意知, ∴.
設(shè),則,即, 11分
由當(dāng)直線l1或l2斜率不存在時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為(—1,0)或(1,0)也滿足此方程,
∴點(diǎn)橢圓上, 12分
∴存在點(diǎn)M、N其坐標(biāo)分別為,使得為定值. 13分
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.
(1)求曲線的方程;
(2)曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).直線分別與直線及軸交于點(diǎn),以為直徑作圓,過點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)為,試探究:當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段的長度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,離心率為,且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 以橢圓的長軸為直徑作圓,設(shè)為圓上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn),為軸上一點(diǎn),過圓心作直線的垂線交橢圓右準(zhǔn)線于點(diǎn).問:直線能否與圓總相切,如果能,求出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不能,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(12分)(2011•福建)如圖,直線l:y=x+b與拋物線C:x2=4y相切于點(diǎn)A.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)b的值;
(Ⅱ)求以點(diǎn)A為圓心,且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓過點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)為,.
(1)求橢圓的方程;
(2),是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù),證明直線的斜率為定值,并求出這個(gè)定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn),點(diǎn)到直線的距離為,到點(diǎn)的距離為,且.直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、(,都在軸上方),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線方程;
(3)對于動(dòng)直線,是否存在一個(gè)定點(diǎn),無論如何變化,直線總經(jīng)過此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的方程為,直線的方程為,點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在拋物線上.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知,點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)、是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是拋物線與軸正半軸交點(diǎn),是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形.試探究直線是否經(jīng)過定點(diǎn)?若經(jīng)過,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn),且其縱坐標(biāo)為4,.
(1)求拋物線的方程;
(2) 設(shè)點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn),的角平分線與軸垂直,求的面積最大時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(2011•浙江)已知拋物線C1:x2=y,圓C2:x2+(y﹣4)2=1的圓心為點(diǎn)M
(1)求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離;
(2)已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線,交拋物線C1于A,B兩點(diǎn),若過M,P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB,求直線l的方程.
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