記F(a，θ)=
a2+2asinθ+2a2+2acosθ+2
，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，θ，F(xiàn)（a，θ）的最大值與最小值的和是
4
4
．
分析：令t=F(a，θ)=
a2+2asinθ+2
a2+2acosθ+2
，把已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosθ，sinθ的方程，利用進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系，再利用基本不等式，即可求得函數(shù)的最值．
解答：解：令t=F(a，θ)=
a2+2asinθ+2
a2+2acosθ+2
，則2atcosθ-2asinθ+（t-1）（a2+2）=0①，
令x=cosθ，y=sinθ，則①為2atx-2ay+（t-1）（a2+2）=0，其中x2+y2=1
∴直線2atx-2ay+（t-1）（a2+2）=0與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)，
∴
|t-1|(a2+2)
2|a|
t2+1
≤1
∴
|t-1|
t2+1
≤
2|a|
a2+2
≤
1
2

∴t2-4t+1≤0
∴2-
3
≤t≤2+
3

∴F（a，θ）的最大值與最小值分別為2+
3
，2-
3
，和是4
故答案為：4
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)與方程思想的運(yùn)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
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已知函數(shù)f（x）=alnx，g（x）=x2，記F（x）=g（x）-f（x）
（Ⅰ）求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a≥
1
2
時(shí)，若x≥1，比較：g（x-1）與f(
1
x
)的大小；
（Ⅲ）若F（x）的極值為
a
2
，問是否存在實(shí)數(shù)k，使方程
1
2
g(x)-f(1+x2)=k有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根？若存在，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

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1
(n+1)2
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現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)a，a1，a2，a3，a4，a5，其中a=0．記T=a+a1+a2+a3+a4+a5，，（n=0，1，2，3，4，5），作函數(shù)y=f（x），使其圖象為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折線．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）設(shè)直線Pn-1Pn的斜率為kn（n=1，2，3，4，5），判斷k1，k2，k3，k4，k5的大小關(guān)系；
（Ⅲ）證明：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜x．

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現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)a，a1，a2，a3，a4，a5，其中a=0．記T=a+a1+a2+a3+a4+a5，，（n=0，1，2，3，4，5），作函數(shù)y=f（x），使其圖象為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折線．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）設(shè)直線Pn-1Pn的斜率為kn（n=1，2，3，4，5），判斷k1，k2，k3，k4，k5的大小關(guān)系；
（Ⅲ）證明：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜x．

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