Question

已知函數(shù)f（x）=alnx，g（x）=x²，記F（x）=g（x）-f（x）
（Ⅰ）求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，若x≥1，比較：g（x-1）與f(

1

x

)的大��；
（Ⅲ）若F（x）的極值為

a

2

，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)k，使方程

1

2

g(x)-f(1+x2)=k有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根？若存在，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別把f（x）和g（x）的解析式代入F（x）中，求出F′（x）=0時(shí)x的值為a及函數(shù)的定義域?yàn)閤大于0，令導(dǎo)函數(shù)大于0解出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的值即為函數(shù)的間區(qū)間；
（Ⅱ）令h(x)=g(x-1)-f(

1

x

)=(x-1)2+alnx，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得出h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）≥h（1）=0即可證得結(jié)論；
（III）分別把

2a

x2+1

代入g（x），把1+x²代入到f（x）中，要使兩個(gè)函數(shù)圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，即讓y相等得到的方程m=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

有四個(gè)解，可設(shè)G（x）=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

，求出G′（x）=0時(shí)x的值，利用x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的增減性求出函數(shù)的最大值G（1）和最小值G（0），然后求出G（2）和G（-2）相等且都小于G（0），所以m屬于（G（0），G（1））時(shí)方程恰有四個(gè)解，求出m的范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）F（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），又F（x）=g（x）-f（x）=x²-alnx
∴F′（x）=2x-

a

x

=

2x 2-a

x

，當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0恒成立
∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；令F'（x）=0得x=

2a

2

當(dāng)a＞0時(shí)，若0＜x＜

2a

2

，F(xiàn)'（x）＜0∴F（x）在（0，

2a

2

）上單調(diào)遞減；
若x＞

2a

2

，F(xiàn)'（x）＞0，∴F（x）在（

2a

2

，+∞）上單調(diào)遞增
故a≤0時(shí)，F(xiàn)（x）增區(qū)間為（0，+∞）；
a＞0時(shí)，F(xiàn)（x）增區(qū)間為(

2a

2

，+∞)，減區(qū)間為（0，

2a

2

）．（4分）
（Ⅱ）令h(x)=g(x-1)-f(

1

x

)=(x-1)2+alnx，
h′（x）=2（x-1）+

a

x

=

2(x- 1 2 ) 2+(a- 1 2 )

x

＞0，所以h（x）在[1，+∞）
上單調(diào)遞增，∴h（x）≥h（1）=0，∴g（x-1）≥f（

1

x

）　（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知F（x）僅當(dāng)a＞0時(shí)，在x=

2a

2

處取得極值
由F（

2a

2

）=

a

2

可得a=2，方程

1

2

g(x)-f(1+x2)=k為
k=

x 2

2

-2ln(1+x 2)①，令t=x²，得

t

2

-k=2ln(1+t)②
由方程①有四個(gè)不同的根，得方程②有兩個(gè)不同的正根，
令y1=

t

2

-k，y2=2ln（t+1）當(dāng)直線y1與曲線y2相切時(shí)，

1

2

=

2

t+1

，∴t=3，
得切點(diǎn)坐標(biāo)（3，2ln4）∴切線方程為y-2ln4=

1

2

(t-3)，其在y軸上截距為2ln4-

3

2

；
當(dāng)直線y1在y軸上截距-k∈（0，2ln4-

3

2

）時(shí)，y1和y2在y軸右側(cè)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以k的取值范圍為（

3

2

-2ln4，0）（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題要求學(xué)生會(huì)利用x的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性求出函數(shù)的最值，是一道中檔題．（也可用導(dǎo)數(shù)求解）