Question

橢圓E以拋物線C：y²=-4x的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

2

3

，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　　）

• A．

  x2

  4

  +

  y2

  3

  =1
• B．

  x2

  5

  +

  y2

  4

  =1
• C．

  x2

  25

  +

  y2

  24

  =1
• D．

  x2

  17

  +

  y2

  16

  =1

Answer 1

分析：依題意可求得y²=-4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)，也是橢圓E的左焦點(diǎn)F₁的坐標(biāo)，進(jìn)一步可求得其交點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可求得|PF₁|與|PF₂|，利用橢圓的定義可求得橢圓的長軸長2a，從而可得離心率．

解答：解：∵設(shè)y²=-4x的焦點(diǎn)為F₁，則F₁（-1，0）也是橢圓E的左焦點(diǎn)，設(shè)橢圓E的右焦點(diǎn)為F₂，則F₂（1，0），
∴2c=|F₁F₂|=2，
∴c=1．
∵橢圓E與拋物線C：y²=-4x的交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-

2

3

，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y₀，
則 y02=-4×（-

2

3

）=

8

3

．
∴y₀=±

2 6

3

．
∴P（-

2

3

，±

2 6

3

）．
∴|PF₁|=

(1- 2 3 )2+ y02

=

1 9 + 24 9

=

5

3

，
同理可求|PF₂|=

7

3

，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
∴a=2，
∴b²=2²-1²=3，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得其長軸長是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．