Question

已知中心在原點O，焦點F₁、F₂在y軸上的橢圓E經(jīng)過點C（2，2），且拋物線x2=4

6

y的焦點為F₂．
（Ⅰ） 求橢圓E的方程；
（Ⅱ） 垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當以AB為直徑的圓P與x軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓E的方程，將點（2，2）代入，結(jié)合為拋物線的焦點為F₂，及a²=b²+c²，即可求得橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程代入橢圓E方程，得3x²-2mx+m²-12=0，結(jié)合韋達定理及以AB為直徑的圓P與x軸相切，即可求直線l的方程和圓P的方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓E的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，…（1分）
則∵橢圓E經(jīng)過點C（2，2），

4

a2

+

4

b2

=1，…（2分）
因為拋物線x2=4

6

y的焦點為F₂，所以c=

6

…（3分）
又a²=b²+c²得a²=12，b²=6…（4分）
所以橢圓E的方程為

y2

12

+

x2

6

=1…（5分）
（Ⅱ）依題意，直線OC的斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m…（6分）
代入橢圓E方程，得3x²-2mx+m²-12=0…（7分）
由△=4m²-12（m²-12）＞0，得m²＜18…（8分）
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

2m

3

，x1x2=

m2-12

3

∴y1+y2=-x1+m-x2+m=

4m

3

…（9分）
半徑r=|

y1+y2

2

|=

(1+1)(x1-x2)2

，解得m=±3，滿足△＞0…（12分）
當m=3時，直線l的方程為y=-x+3，圓P的方程為（x-2）²+（y-1）²=4
當m=-3時，直線l的方程為y=-x-3，圓P的方程為（x+2）²+（y+1）²=4      …（14分）

點評：本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓，直線與圓的位置關(guān)系，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．