Question

已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上的橢圓E經(jīng)過點(diǎn)C（2，2），且拋物線y²=的焦點(diǎn)為F₁．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí)，求直線l的方程和圓P的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓E的方程，根據(jù)橢圓E經(jīng)過點(diǎn)C（2，2），且拋物線y²=的焦點(diǎn)為F₁，結(jié)合a²=b²+c²，即可求得橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程y=-x+m代入橢圓E方程，可得3x²-4mx+2m²-12=0，利用韋達(dá)定理可得圓P的圓心與半徑，利用圓P與y軸相切時(shí)，即可確定m的值，由此可求直線l的方程和圓P的方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓E的方程為，…（1分）
則，①…（2分）
∵拋物線的焦點(diǎn)為F₁，∴②…（3分）
又a²=b²+c²  ③
由①、②、③得a²=12，b²=6…（5分）
所以橢圓E的方程為…（6分）
（Ⅱ）依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m，…（7分）
代入橢圓E方程，得3x²-4mx+2m²-12=0．…（8分）
由△=16m²-12（2m²-12）=8（18-m²），得m²＜18．…（9分）
記A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=…（10分）
圓P的圓心為，
半徑…（1分）
當(dāng)圓P與y軸相切時(shí)，，則2x₁x₂=，
即，m²=9＜18，m=±3…（12分）
當(dāng)m=3時(shí)，直線l方程為y=-x+3，此時(shí)，x₁+x₂=4，圓心為（2，1），半徑為2，圓P的方程為（x-2）²+（y-1）²=4；…（13分）
同理，當(dāng)m=-3時(shí)，直線l方程為y=-x-3，圓P的方程為（x+2）²+（y+1）²=4…14 分
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，正確確定圓心與半徑是關(guān)鍵．