【題目】如圖1,菱形ABCD的邊長為12,∠BAD=60°,AC與BD交于O點.將菱形ABCD沿對角線AC折起,得到三棱錐B﹣ACD,點M是棱BC的中點,DM=6 .
(I)求證:平面ODM⊥平面ABC;
(II)求二面角M﹣AD﹣C的余弦值.
【答案】證明:(Ⅰ)∵ABCD是菱形,
∴AD=DC,OD⊥AC,
△ADC中,AD=DC=12,∠ADC=120°,
∴OD=6,
又M是BC中點,∴ ,
∵OD2+OM2=MD2,∴DO⊥OM,
∵OM,AC面ABC,OM∩AC=O,
∴OD⊥面ABC,
又∵OD平面ODM,∴平面ODM⊥平面ABC.…
(Ⅱ)解:由題意,OD⊥OC,OB⊥OC,
又由(Ⅰ)知OB⊥OD,建立如圖所示空間直角坐標系,
由條件知:
故 ,
設(shè)平面MAD的法向量 ,
則 ,即 ,令 ,則x=3,z=9
∴
由條件知OB⊥平面ACD,故取平面ACD的法向量為
所以,
由圖知二面角M﹣AD﹣C為銳二面角,
故二面角M﹣AD﹣C的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)推導出OD⊥AC,DO⊥OM,從而OD⊥面ABC,由此能證明平面ODM⊥平面ABC.(Ⅱ)由OD⊥OC,OB⊥OC,OB⊥OD,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角M﹣AD﹣C的余弦值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,動點P在其表面上運動,且|PA|=x,把點的軌跡長度L=f(x)稱為“喇叭花”函數(shù),給出下列結(jié)論: ① ;② ;③ ;④
其中正確的結(jié)論是: . (填上你認為所有正確的結(jié)論序號)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若向量 ,在函數(shù) 的圖象中,對稱中心到對稱軸的最小距離為 ,且當 的最大值為1.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】公元263年左右,我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形的面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”.利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖,其中n表示圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù),執(zhí)行此算法輸出的圓周率的近似值依次為(參考數(shù)據(jù): ≈1.732,sin15°≈0.2588,sin75°≈0.1305)( )
A.2.598,3,3.1048
B.2.598,3,3.1056
C.2.578,3,3.1069
D.2.588,3,3.1108
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】變量x,y滿足約束條件 ,若使z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個,則實數(shù)a的取值集合是( )
A.{﹣3,0}
B.{3,﹣1}
C.{0,1}
D.{﹣3,0,1}
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道,賽道的前一部分為曲線段OSM,該曲線段為函數(shù)y=Asinωx(A>0,ω>0)x∈[0,4]的圖象,且圖象的最高點為 ;賽道的后一部分為折線段MNP,為保證參賽運動員的安全,限定∠MNP=120°
(1)求A,ω的值和M,P兩點間的距離;
(2)應(yīng)如何設(shè)計,才能使折線段賽道MNP最長?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點.
(1)求證:BD⊥EG;
(2)求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義在(0,+∞)上的函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為y=f﹣1(x),若g(x)= 為奇函數(shù),則f﹣1(x)=2的解為 .
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