【題目】如圖所示,在多面體中,矩形所在平面與直角梯形所在平面垂直,,,為的中點(diǎn),且,.
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)要證平面,即證,構(gòu)造四邊形,證明其為平行四邊形即可;
(2) 以為原點(diǎn),分別以、、為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法即可求出直線與平面所成角的正弦值.
(1)證明:如圖,
取的中點(diǎn),連結(jié).
∵是的中點(diǎn),是的中點(diǎn).
∴,.
又,.∴,.
∴四邊形是平行四邊形,∴.
又∵平面,平面.
∴平面.
(2)∵平面平面,,平面平面,
∴平面.∴,.
∵,,∴.
如圖,以為原點(diǎn),分別以、、為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,,,
∴,.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,令,得,,∴.
又,∴.
∴直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(1)求的值域;
(2)若存在唯一的整數(shù),使得,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為,且過(guò)點(diǎn)P。
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知斜率為1的直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F交橢圓于A.B兩點(diǎn),求弦AB的長(zhǎng)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知菱形與直角梯形所在的平面互相垂直,其中,,,,為的中點(diǎn)
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)為線段上一點(diǎn),,若直線與平面所成角的正弦值為,求的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,且橢圓的短軸長(zhǎng)為2,分別為橢圓的左,右焦點(diǎn),分別為橢圓的左,右頂點(diǎn),設(shè)點(diǎn)在第一象限,且軸,連接交橢圓于點(diǎn),直線的斜率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若三角形的面積等于四邊形的面積,求的值;
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn),射線(為原點(diǎn))與橢圓交于點(diǎn),滿足,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和,且(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,為等邊三角形, ,點(diǎn)為邊的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C過(guò)點(diǎn) ,兩個(gè)焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且|AB|=6,求△AOB面積的最大值.
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