Question

【題目】如圖，在多面體中，為等邊三角形， ,點(diǎn)為邊的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證:平面；

（Ⅱ）求證:平面平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析； （Ⅱ）見(jiàn)解析； （Ⅲ）.

【解析】

(I)取中點(diǎn),連結(jié),利用三角形中位線定理可證明是平行四邊形，可得，由線面平行的判定定理可得結(jié)果；（Ⅱ）先證明，，可得平面 ，從而可得平面，由面面垂直的判定定理可得結(jié)果；（Ⅲ）取中點(diǎn),連結(jié)，直線與平面所成角等于直線與平面所成角,

過(guò)作,垂足為,連接，為直線與平面所成角，利用直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.

(I)

取中點(diǎn),連結(jié)

，

是平行四邊形，

平面，平面, 平面.

(II) ，

又 平面

平面 ，

又為等邊三角形，為邊的中點(diǎn)，

平面

由(I)可知， 平面，

平面 平面平面。

(III)

取中點(diǎn),連結(jié)，

所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角,

過(guò)作,垂足為,連接.

平面平面 ,平面， 平面.

為斜線在面內(nèi)的射影，為直線與平面所成角，

在中，

直線與平面所成角的正弦值為.