Question

【題目】已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根，記它在直角坐標(biāo)平面上的對應(yīng)點(diǎn)位.

（1）若在直線上，求證：在圓:上；

（2）給定圓，則存在唯一的線段滿足：

①若在圓上，則在線段上；

②若是線段上一點(diǎn)（非端點(diǎn)），則在圓上，寫出線段的表達(dá)式，并說明理由；

（3）由（2）知線段與圓之間確定了一種對應(yīng)關(guān)系，通過這種對應(yīng)關(guān)系的研究，填寫表一（表中是（1）中圓的對應(yīng)線段）.

表一：

線段與線段的關(guān)系	的取值或表達(dá)式
所在直線平行于所在直線
所在直線平分線段
線段與線段長度相等

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）線段為：．理由見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）由，求出坐標(biāo)，代入圓方程驗(yàn)證即可證；

（2）當(dāng)，即時(shí)，求出坐標(biāo)，代入圓方程，可得關(guān)系式，從而知所滿足的直線方程，求出的取值范圍，即得線段方程，反之在線段上，檢驗(yàn)在圓上即可；

（3）根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求解后可填表．

（1）由題意，解方程，得，

點(diǎn)或，

∵，

∴在圓上；

（2）當(dāng)，即時(shí)，解方程得，

所以或，

由題意，整理得，

∵，，∴，

線段為：．

若點(diǎn)在線段：上（非端點(diǎn)），則實(shí)系數(shù)方程為：，此時(shí)，且或在圓上．

（3）由以上解題過程知，

若所在直線平行于所在直線，則，∴；

若所在直線平分線段，線段中點(diǎn)為，所以，即；

線段與線段長度相等，∴，即．

表一：

線段與線段的關(guān)系	的取值或表達(dá)式
所在直線平行于所在直線
所在直線平分線段
線段與線段長度相等	．