【題目】如圖所示,直平行六面體的所有棱長(zhǎng)都為2,,過(guò)體對(duì)角線的截面S與棱分別交于點(diǎn)E、F,給出下列命題中:

①四邊形的面積最小值為;

②直線EF與平面所成角的最大值為;

③四棱錐的體積為定值;

④點(diǎn)到截面S的距離的最小值為.

其中,所有真命題的序號(hào)為(

A.①②③B.①③④C.①③D.②④

【答案】B

【解析】

①分析可得當(dāng)為為棱的中點(diǎn)時(shí),四邊形的面積最小,求解即可;

②過(guò)點(diǎn)的平面的垂線交平面于點(diǎn),轉(zhuǎn)化直線EF與平面所成角最大為直線與直線的夾角最小,進(jìn)而求解即可;

③轉(zhuǎn)化四棱錐的體積為以平面和平面為底的三棱錐的體積的和,進(jìn)而求證即可;

④分析可得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)四邊形的面積最大,此時(shí)點(diǎn)到截面S的距離的最小,進(jìn)而求解即可

由題,因?yàn)檫^(guò)體對(duì)角線,則由對(duì)稱性易得四邊形是平行四邊形,

連接,,且交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的垂線,垂足為,

則若四邊形面積最小,最小,

即為棱到平面的距離,即為長(zhǎng),

因?yàn)?/span>,,

所以,

,

,

所以,此時(shí)為棱的中點(diǎn),故①正確;

過(guò)點(diǎn)的平面的垂線交平面于點(diǎn),即為點(diǎn)到平面的距離,根據(jù)底面菱形的性質(zhì),可得,

若直線EF與平面所成角最大,則直線與直線的夾角最小,即最小,此時(shí)最大,即最小,

時(shí),故,則,

則直線EF與平面所成角最大為,故②錯(cuò)誤;

設(shè)點(diǎn)到平面,平面的距離分別為,即從點(diǎn)分別向作垂線即可,由菱形可得,

,

為定值,故③正確;

因?yàn)樗睦忮F的體積為定值,

所以若點(diǎn)到截面S的距離的最小,則截面的面積最大,即四邊形面積最大,最大,則當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合條件,此時(shí)在,,,,,

所以,此時(shí),

設(shè)點(diǎn)到截面S的距離為,則,所以,故④正確

綜上,①③④正確,

故選:B

練習(xí)冊(cè)系列答案
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表一:

線段與線段的關(guān)系

的取值或表達(dá)式

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