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如圖，在五面體P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2，PB=
15
，PD=
3
．
（1）求證：BD⊥平面PAD；
（2）若PD與底面ABCD成60°的角，試求二面角P-BC-A的大�。�
解（1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，
得BD2=AD2+AB2-2AD•ABcos60°=4+16-2×2×4×
1
2
=12．
∴AB2=AD2+BD2，∴△ABD是直角三角形，
∠ADB=90°，即AD⊥BD．
在△PDB中，PD=
3
，PB=
15
，BD=
12
，
∴PB2=PD2+BD2，故得PD⊥BD．
又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD．
（2）∵BD⊥平面PAD，BD?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
作PE⊥AD于E，又PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，
∴∠PDE是PD與底面BCD所成的角，∴∠PDE=60°，
∴PE=PDsin60°=
3
•
3
2
=
3
2

作EF⊥BC于F，連PF，則PF⊥BC，∴∠PFE是二面角P-BC-A的平面角．
又EF=BD=
12
，∴在Rt△PEF中，
tan∠PFE=
PE
EF
=
3
2
2
3
=
3
4
．
故二面角P-BC-A的大小為arctan
3
4
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1上的點、F為DB的中點．
（Ⅰ）求直線B1F與平面CDD1C1所成角的正弦值；
（Ⅱ）若直線EF∥平面ABC1D1，試確定點E的位置．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖多面體，它的正視圖為直角三角形，側視圖為矩形，俯視圖為直角梯形（尺寸如圖所示）．
（Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）當AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°？

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，四面體A-BCD的四個面全等，且AB=AC=2
3
，BC=4，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的大小為（　�。�
A．arccos
1
3
B．arccos
3
3
C．
π
2
D．
2π
3

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

平面α與平面β相交成一個銳二面角θ，平面α上的一個圓在平面β上的射影是一個離心率為
1
2
的橢圓，則θ等于（　　）
A．30°B．45°C．60°D．75°

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

三棱錐P-ABC的兩側面PAB，PBC都是邊長為2的正三角形，AC=
3
，則二面角A-PB-C的大小為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點F是PB的中點，點E在矩形ABCD的邊BC上移動．
（Ⅰ）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF；
（Ⅱ）當CE等于何值時，二面角P-DE-A的大小為45°．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知二面角α-AB-β為120°，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB=AC=BD=a，則CD的長為______．

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