Question

17．若數(shù)列{a_n²}是等差數(shù)列，則稱數(shù)列{a_n}為“等方差數(shù)列”，給出以下判斷：
①常數(shù)列是等方差數(shù)列；
②若數(shù)列{a_n}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{a_n²}是等差數(shù)列；
③若數(shù)列{a_n}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{a_n²}是等方差數(shù)列；
④若數(shù)列{a_n}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{a_2n}也是等方差數(shù)列，
其中正確的序號有（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 根據(jù)“等方差數(shù)列”的定義，我們逐一判斷可得答案．

解答 解：①常數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列；
依題a_n+1²-a_n²=a_n²-a_n-1²
⇒（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）
又{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
則-d（a_n+1+a_n-a_n-a_n-1）=0⇒2d²=0⇒d=0
故{a_n}是常數(shù)列．
②③：∵{a_n}是等方差數(shù)列，∴a_n²-a_n-1²=p（p為常數(shù)）得到{a_n²}為首項(xiàng)是a₁²，公差為p的等差數(shù)列；
∴{a_n²}是等差數(shù)列，故②正確，③不正確；
④：數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)列舉出來是，a₁，a₂，…，a_n，…，a_2n，…
數(shù)列{a_2n}中的項(xiàng)列舉出來是，a_n，a_2n，…，a_3n，…，
∵（a_n+1²-a_n²）=（a_n+2²-a_n+1²）=（a_n+3²-a_n+2²）=…=（a_2n²-a_2n-1²）=p
∴（a_n+1²-a_n²）+（a_n+2²-a_n+1²）+（a_n+3²-a_n+2²）+…+（a_2n²-a_2n-1²）=kp
∴（a_2n+1²-a_2n²）=2p
∴{a_2n}（k∈N^*，k為常數(shù)）是等方差數(shù)列；故④正確．
故選：B．

點(diǎn)評 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)及新定義等方差數(shù)列化簡求值，是一道中檔題．