【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣9x,函數(shù)g(x)=3x2+a.
(1)已知直線l是曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線,且l與曲線y=g(x)相切,求a的值;
(2)若方程f(x)=g(x)有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=x3﹣9x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2﹣9,
f(0)=0,f′(0)=﹣9,直線l的方程為y=﹣9x,
設(shè)l與曲線y=g(x)相切于點(diǎn)(m,n),
g′(x)=6x,g′(m)=6m=﹣9,解得m=﹣ ,
g(m)=﹣9m,即g(﹣ )= +a= ,
解得a= ;
(2)解:記F(x)=f(x)﹣g(x)=x3﹣9x﹣3x2﹣a,
F′(x)=3x2﹣6x﹣9,
由F′(x)=0,可得x=3或x=﹣1.
當(dāng)x<﹣1時(shí),F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)遞增;
當(dāng)﹣1<x<3時(shí),F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)遞減;
當(dāng)x>3時(shí),F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)遞增.
可得x=﹣1時(shí),F(xiàn)(x)取得極大值,且為5﹣a,
x=3時(shí),F(xiàn)(x)取得極小值,且為﹣27﹣a,
因?yàn)楫?dāng)x→+∞,F(xiàn)(x)→+∞;x→﹣∞,F(xiàn)(x)→﹣∞.
則方程f(x)=g(x)有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解的等價(jià)條件為:
5﹣a>0,﹣27﹣a<0,
解得﹣27<a<5
【解析】(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)和切線的斜率和方程,設(shè)l與曲線y=g(x)相切于點(diǎn)(m,n),求出g(x)的導(dǎo)數(shù),由切線的斜率可得方程,求得a的值;(2)記F(x)=f(x)﹣g(x)=x3﹣9x﹣3x2﹣a,求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,極值,由題意可得方程f(x)=g(x)有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解的等價(jià)條件為極小值小于0,極大值大于0,解不等式即可得到所求范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠有兩臺(tái)不同機(jī)器A和B生產(chǎn)同一種產(chǎn)品各10萬(wàn)件,現(xiàn)從各自生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取20件,進(jìn)行品質(zhì)鑒定,鑒定成績(jī)的莖葉圖如圖所示:
該產(chǎn)品的質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:鑒定成績(jī)達(dá)到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀;鑒定成績(jī)達(dá)到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級(jí)為良好;鑒定成績(jī)達(dá)到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級(jí)為合格將這組數(shù)據(jù)的頻率視為整批產(chǎn)品的概率.
Ⅰ從等級(jí)為優(yōu)秀的樣本中隨機(jī)抽取兩件,記X為來(lái)自B機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量,寫(xiě)出X的分布列,并求X的數(shù)學(xué)期望;
Ⅱ完成下列列聯(lián)表,以產(chǎn)品等級(jí)是否達(dá)到良好以上含良好為判斷依據(jù),判斷能不能在誤差不超過(guò)的情況下,認(rèn)為B機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品比A機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品好;
A生產(chǎn)的產(chǎn)品 | B生產(chǎn)的產(chǎn)品 | 合計(jì) | |
良好以上含良好 | |||
合格 | |||
合計(jì) |
已知優(yōu)秀等級(jí)產(chǎn)品的利潤(rùn)為12元件,良好等級(jí)產(chǎn)品的利潤(rùn)為10元件,合格等級(jí)產(chǎn)品的利潤(rùn)為5元件,A機(jī)器每生產(chǎn)10萬(wàn)件的成本為20萬(wàn)元,B機(jī)器每生產(chǎn)10萬(wàn)件的成本為30萬(wàn)元;該工廠決定:按樣本數(shù)據(jù)測(cè)算,兩種機(jī)器分別生產(chǎn)10萬(wàn)件產(chǎn)品,若收益之差達(dá)到5萬(wàn)元以上,則淘汰收益低的機(jī)器,若收益之差不超過(guò)5萬(wàn)元,則仍然保留原來(lái)的兩臺(tái)機(jī)器你認(rèn)為該工廠會(huì)仍然保留原來(lái)的兩臺(tái)機(jī)器嗎?
附:獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算公式:.
臨界值表:
k |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某飛行器在4千米高空飛行,從距著陸點(diǎn)A的水平距離10千米處開(kāi)始下降,已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖象的一部分,則該函數(shù)的解析式為( )
A.y= ﹣ x
B.y= x3﹣ x
C.y= x3﹣x
D.y=﹣ x3+ x
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x﹣2y﹣2=0.
(1)求a,b的值;
(2)當(dāng)x>1時(shí),f(x)+ <0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)證明:當(dāng)n∈N* , 且n≥2時(shí), + +…+ > .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】求滿足下列條件的橢圓或雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)橢圓的焦點(diǎn)在軸上,焦距為4,且經(jīng)過(guò)點(diǎn);
(2)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,右焦點(diǎn)為,過(guò)作重直于軸的直線交雙曲線于,兩點(diǎn),且,離心率為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分別為棱AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上,且B1E⊥C1F,A1C1⊥B1C1.
(1)求證:DE∥平面A1C1F;
(2)求證:B1E⊥平面A1C1F
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓E:的焦距為2,一條準(zhǔn)線方程為x=,A,B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),點(diǎn)P,Q在的橢圓上,且點(diǎn)P在第一象限.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)P,Q關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,且PQ⊥AB,求四邊形ABCD的面積;
(3)若AP,BQ的斜率互為相反數(shù),求證:PQ斜率為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題 方程 有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根,
命題 不等式 的解集為 ,
(1)若為真命題,求 的取值范圍.
(2)若 為真命題, 為假命題,求 的取值范圍.
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