【題目】已知二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)-3和1，且有最小值-4.

（1）求的解析式；

（2）寫出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

（3）令，若，證明：在上有唯一零點(diǎn).

【答案】（1）;（2）的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是;（3）詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)-3和1,設(shè)出二次函數(shù),頂點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)式,即可求出解析式;

（2）根據(jù)二次函數(shù)的開口方向和對稱軸,求出單調(diào)區(qū)間;

（3）由,結(jié)合,判斷在單調(diào)性,再由零點(diǎn)存在性原理即可得證.

（1）依題意可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)

代入解析式得，

（2）由（1）得的對稱軸方程為,開口向上,

所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.

（3）,其對稱軸方程為,

所以在單調(diào)遞遞增,,

在沒有零點(diǎn); 在單調(diào)遞減，且,

且拋物線開口向下,在上有唯一零點(diǎn),

所以在上有唯一零點(diǎn).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，記的最小值為，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)存在極大值，且極大值點(diǎn)為1，證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a2(a∈R)，若f(x)能表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)和一個(gè)偶函數(shù)h(x)的和．

(1)求g(x)和h(x)的解析式；

(2)若f(x)和g(x)在區(qū)間(－∞，(a＋1)2]上都是減函數(shù)，求f(1)的取值范圍．

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【題目】如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ) 求，，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：．

若圓C的切線l在x軸和y軸上的截距相等，且截距不為零，求切線l的方程；

已知點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，由點(diǎn)P向圓C引一條切線，切點(diǎn)為M，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知矩形與矩形全等，二面角為直二面角，為中點(diǎn)，與所成角為，且，則（ ）.

A. 1 B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出.如圖，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)，的橢圓與雙曲線構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若將裝置中的去掉，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若，則與的離心率之比為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.過拋物線上一點(diǎn)作的切線交橢圓于，兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得，若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由.

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