Question

【題目】已知函數(shù)，，、.

（1）若，且函數(shù)的圖象是函數(shù)圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)在上總有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）由得出，由此得出，設(shè)切點(diǎn)為，由題意得出，可求出的值；

（2）由參變量分離法得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析得出，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）根據(jù)題意，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，對(duì)實(shí)數(shù)分和兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）由，得，，

設(shè)函數(shù)與函數(shù)相切于點(diǎn)，則，

由題意可得，解得，因此，；

（2）由題意得，恒成立．

令，，則，

再令，則，令，解得.

故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

從而，函數(shù)在上有最小值，

即有在上恒成立，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，所以.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（3）由題意可得，其導(dǎo)數(shù).

①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，則函數(shù)在上為增函數(shù)，

若函數(shù)在上總有零點(diǎn)，則有，解得；

②當(dāng)時(shí)，令，解得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

則函數(shù)在處取得最小值，即.

（i）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，

則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

若函數(shù)在區(qū)間上恒有零點(diǎn)，則，解得；

（ii）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，若，則；若，則.

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

，可得.

構(gòu)造函數(shù)，其中，則，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.