Question

11．已知函數(shù)f（x）=cos⁴x+sin²x，下列結(jié)論中錯誤的是（　�。�

• A． f（x）是偶函數(shù)
• B． 函f（x）最小值為$\frac{3}{4}$
• C． $\frac{π}{2}$是函f（x）的一個周期
• D． 函f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)是減函數(shù)

Answer 1

分析 根據(jù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
化簡函數(shù)f（x），求出它的最小值為$\frac{3}{4}$；
化簡f（x），求出它的最小正周期為$\frac{π}{2}$；
判斷f（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上無單調(diào)性．

解答 解：對于A，函數(shù)f（x）=cos⁴x+sin²x，其定義域為R，
對任意的x∈R，有f（-x）=cos⁴（-x）+sin²（-x）=cos⁴x+sin²x=f（x），
所以f（x）是偶函數(shù)，故A正確；
對于B，f（x）=cos⁴x-cos²x+1=${（co{s}^{2}x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$，
當cosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時f（x）取得最小值$\frac{3}{4}$，故B正確；
對于C，f（x）=${（co{s}^{2}x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$
=${（\frac{1+cos2x}{2}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$
=$\frac{{cos}^{2}2x}{4}$+$\frac{3}{4}$
=$\frac{1+cos4x}{8}$+$\frac{3}{4}$
=$\frac{cos4x}{8}$+$\frac{7}{8}$，
它的最小正周期為T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，故C正確；
對于D，f（x）=$\frac{1}{8}$cos4x+$\frac{7}{8}$，當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，4x∈（0，2π），
f（x）先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，故D錯誤．
故選：D．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與運算問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，是綜合性題目．