Question

16．已知數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n滿足b_n+1-b_n=a_n，且b₂=-18，b₃=-24．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求b_n取得最小值時(shí)n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求得a₂，結(jié)合公差求得首項(xiàng)，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n+1-b_n=a_n，利用累加法求得b_n，結(jié)合二次函數(shù)求得b_n取得最小值時(shí)n的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知d=2，
再由b_n+1-b_n=a_n，且b₂=-18，b₃=-24，得a₂=b₃-b₂=-6，
則a₁=a₂-d=-6-2=-8，
∴a_n=-8+2（n-1）=2n-10；
（Ⅱ）b_n+1-b_n=2n-10，
∴b₂-b₁=2×1-10，
b₃-b₂=2×2-10，
…
b_n-b_n-1=2（n-1）-10（n≥2），
累加得：b_n=b₁+2[1+2+…+（n-1）]-10（n-1）
=b₂-a₁+2[1+2+…+（n-1）]-10（n-1），
=-10+$2×\frac{n（n-1）}{2}-10（n-1）$=${n}^{2}-11n=（n-\frac{11}{2}）^{2}-\frac{121}{4}$．
∴當(dāng)n=5或6時(shí)，b_n取得最小值為b₅=b₆=-30．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．