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【題目】已知函數的圖象與軸相切．

（1）求的值．

（2）求證：．

（3）若，求證：．

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）先設切點，根據導數幾何意義列方程組，解得結果；

（2）先化簡不等式為，再構造函數，利用導數求其最大值，根據最大值證不等式；

（3）先求導數，再求導函數零點，利用（2）證，最后利用導數求其單調性與最值，根據最值證得不等式.

（1）解：設切點，則即∴．

（2）證明：∵，∴等價于．

設，則．

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減．

∴，即，∴．

（3）證明：設，．

由，得．

由（2）得，當時， ，所以當時，得．

當時， ，以代換，得，有，

所以當時，得，

∴當時，有．

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減．

又∵，∴當時，，即．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為(為參數).以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（Ⅰ）求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程；

（Ⅱ）已知點設直線與曲線相交于兩點，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某手機生產企業(yè)為了對研發(fā)的一批最新款手機進行合理定價，將該款手機按事先擬定的價格進行試銷，得到單價（單位：千元）與銷量（單位：百件）的關系如下表所示：

單價（千元）

1

1.5

2

2.5

3

銷量（百件）

10

8

7

6

已知.

（Ⅰ）若變量，具有線性相關關系，求產品銷量（百件）關于試銷單價（千元）的線性回歸方程；

（Ⅱ）用（Ⅰ）中所求的線性回歸方程得到與對應的產品銷量的估計值，當銷售數據對應的殘差滿足時，則稱為一個“好數據”，現從5個銷售數據中任取3個，求其中“好數據”的個數的分布列和數學期望.

參考公式：，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，點、分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線的離心率為，點在雙曲線上，不在軸上的動點與動點關于原點對稱，且四邊形的周長為.

(1)求動點的軌跡的方程；

(2)過點的直線交的軌跡于，兩點，為上一點，且滿足，其中，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（其中為參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）若，求直線與曲線的交點的直角坐標；

（2）若點在曲線上，且到直線距離的最大值為，求直線的斜率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點在正視圖上的對應點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（ ）

A. B. C. D. 2

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設點為拋物線外一點，過點作拋物線的兩條切線，，切點分別為，．

（Ⅰ）若點為，求直線的方程；

（Ⅱ）若點為圓上的點，記兩切線，的斜率分別為，，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】平面上兩定點，動點滿（為常數）．

（Ⅰ）說明動點的軌跡（不需要求出軌跡方程）；

（Ⅱ）當時，動點的軌跡為曲線，過的直線與交于兩點，已知點，證明：．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】把方程表示的曲線作為函數的圖象，則下列結論正確的是（ ）

①在R上單調遞減

②的圖像關于原點對稱

③的圖象上的點到坐標原點的距離的最小值為3

④函數不存在零點

A.①③B.①②③C.①③④D.①②③④

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