已知函數(shù)f(x)在(－1,1)上有定義，當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時(shí)f(x)<0，且對(duì)任意x、y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y)＝f，試證明：
(1)f(x)為奇函數(shù)；
(2)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減．

證明：(1)由f(x)＋f(y)＝f，令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0，
令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f＝f(0)＝0.
∴f(x)＝－f(－x)，即f(x)為奇函數(shù)．
(2)先證f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減．
令0<x1<x2<1，
則f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)
＝f，
∵0<x1<x2<1，∴x2－x1>0,1－x1x2>0，
∴>0，
又∵(x2－x1)－(1－x2x1)＝(x2－1)(x1＋1)<0，
∴x2－x1<1－x2x1，
∴0<<1，由題意知f<0，
即f(x2)<f(x1)．
∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)＝0，
∴f(x)在(－1,1)上為減函數(shù)．

解析

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
已知函數(shù) ，．
（Ⅰ）當(dāng)  時(shí)，求函數(shù)  的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)  時(shí)，討論函數(shù)  的單調(diào)性；
（Ⅲ）求證：當(dāng) 時(shí)，對(duì)任意的 ，且，有．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

若函數(shù)f(x)對(duì)定義域中任意x均滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱(chēng)．
(1)已知函數(shù)f(x)＝的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)已知函數(shù)g(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g(x)＝x2＋ax＋1，求函數(shù)g(x)在(－∞，0)上的解析式；
(3)在(1)(2)的條件下，當(dāng)t＞0時(shí)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈(－∞，0)，恒有g(shù)(x)＜f(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，(a<0)不等式f(x)>－2x的解集為(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)
（Ⅰ）若函數(shù)在處取得極小值是，求的值;  
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
（Ⅲ）若函數(shù)在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn), 求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（14分）函數(shù)是定義在（－1，1）上的奇函數(shù)，且
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）利用定義證明在（－1，1）上是增函數(shù)；
（3）求滿足的的范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本題滿分12分）函數(shù)f(x)=(a〉0,且a≠1)在區(qū)間[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知關(guān)于x的二次方程
（1）若方程有兩根，其中一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，求m的取值范圍
（2）若方程兩根均在區(qū)間內(nèi)，求m的取值范圍       

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值記為
（1）請(qǐng)寫(xiě)出的表達(dá)式并畫(huà)出的草圖；
（2）若, 恒成立,求的取值范圍.

 
  
 

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