【題目】如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn).

（1）證明：平面平面；

（2）求平面與平面所成的二面角大小.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）方法一: 取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，由勾股定理可得，，在三棱柱中易知平面，由于，由此平面，根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果.

方法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，分析求出向量 的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)，結(jié)合線面垂直的判定定理得到平面，再由面面垂直的判定定理即可得到平面平面平面．

（2）求出平面與平面的法向量坐標(biāo)，代入向量夾角公式，求出平面與平面所成的二面角的余弦值，進(jìn)而可以求出平面與平面所成的二面角．

（1）方法一：

證明：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接

，.

E、F分別為AC1、AC的中點(diǎn)

，，

，，故四邊形是平行四邊形

.

在直三棱柱中，，

又且

平面.

由于.

平面平面

平面平面.

方法二：

證明：

，

由勾股定理知，，則如圖所示建立直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)分別為：

分別是之中點(diǎn).

故

，

平面，平面

平面平面

（2）設(shè)平面的法向量，且

令，

顯然平面的法向量為，平面的法向量

，故兩平面的夾角為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

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【題目】已知橢圓：的離心率為，過其右焦點(diǎn)與長軸垂直的直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)，不重合，直線，與直線分別交于點(diǎn)，，求證：以線段為直徑的圓過定點(diǎn).

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【題目】某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將期中考試的物理成績（均為整數(shù)）分成六段：，，，…，后得到如圖頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)眾數(shù)和中位數(shù)；

（2）用分層抽樣的方法從的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為5的樣本，從這五人中任選兩人參加補(bǔ)考，求這兩人的分?jǐn)?shù)至少一人落在的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，，，四點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)．

（1）求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，試求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】第七屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日（共10天）在武漢召開，人們通過手機(jī)、電視等方式關(guān)注運(yùn)動(dòng)會(huì)盛況．某調(diào)查網(wǎng)站從觀看運(yùn)動(dòng)會(huì)的觀眾中隨機(jī)選出200人，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這200人中通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的人數(shù)與通過新型的傳媒方式端口觀看的人數(shù)之比為．將這200人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組．其中統(tǒng)計(jì)通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的觀眾得到的頻率分布直方圖如圖所示．

（1）求的值及通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的觀眾的平均年齡；

（2）把年齡在第1,2,3組的觀眾稱為青少年組，年齡在第4,5組的觀眾稱為中老年組，若選出的200人中通過新型的傳媒方式端口觀看的中老年人有12人，請(qǐng)完成下面列聯(lián)表，則能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為觀看軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)的方式與年齡有關(guān)？

通過端口觀看軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)

通過電視端口觀看軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)

合計(jì)

青少年

中老年

合計(jì)

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附：（其中）．

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】已知空間中兩條直線，所成的角為50°，為空間中給定的一個(gè)點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與直線，所成的角都是，則下列判斷中正確的是( )

①當(dāng)時(shí)，滿足題意的直線不存在；②當(dāng)時(shí)，滿足題意的直線有且只有1條；③當(dāng)時(shí)，滿足題意的直線有且只有2條；④當(dāng)時(shí)，滿足題意的直線有且只有3條.

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

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【題目】設(shè)D是圓O：x2+y2＝16上的任意一點(diǎn)，m是過點(diǎn)D且與x軸垂直的直線，E是直線m與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線m上，且滿足2|EQ||ED|．當(dāng)點(diǎn)D在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程．

（2）已知點(diǎn)P（2，3），過F（2，0）的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，交直線x＝8于點(diǎn)M．判定直線PA，PM，PB的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列？并說明理由．

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【題目】我國在北宋年間（公元1084年）第一次印刷出版了《算經(jīng)十書》，即賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數(shù)書九章》，李冶的《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章算法》、《日用算法》和《楊輝算法》，朱世杰的《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》.這些書中涉及的很多方面都達(dá)到古代數(shù)學(xué)的高峰，其中一些“算法”如開立方和開四次方也是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的高峰，哈三中圖書館中正好有這十本書，但是書名中含有“算”字的書都已經(jīng)借出，現(xiàn)在小張同學(xué)從剩余的書中任借兩本閱讀，那么他借到《數(shù)書九章》的概率為_______.

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