【題目】設函數(shù).

(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若,證明:方程有且僅有3個不同的實數(shù)根.(附:,,

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】

(1)先對函數(shù)求導,分類討論兩種情況,即可得出結果;

(2)將代入函數(shù)解析式,得到,根據(jù)(1)中結果,得到函數(shù)單調(diào)性,求出函數(shù)極值,即可得出結果.

解:(1)由,

,

所以

所以當時,,恒成立,

恒成立,

所以單調(diào)遞增;

時,,此時方程有兩個不相等的根,,不妨設,

,

所以,

所以當時,,

,所以單調(diào)遞增;

時,,

,所以單調(diào)遞減;

時,,

,所以單調(diào)遞增.

綜上,當時,上單調(diào)遞增;

時,的單調(diào)遞增區(qū)間為,的單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2)當時,

由(1)知,函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以當時,函數(shù)有極大值,且

時,函數(shù)有極小值,

.

又因為,

所以直線與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有且僅有3個交點,

所以當時,方程有且僅有3個不同的實數(shù)根.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】下列說法錯誤的是(

A.回歸直線過樣本點的中心.

B.對分類變量XY,隨機變量K2的觀測值k越大,則判斷XY有關系的把握程度越小

C.兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數(shù)的絕對值就越接近于1

D.在回歸直線方程0.2x0.8中,當解釋變量x每增加1個單位時,預報變量平均增加0.2個單位

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(I)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(II)若存在兩個極值點,求證:.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】 在正方體ABCDA1B1C1D1中,若F,G分別是棱ABCC1的中點,則直線FG與平面A1ACC1所成角的正弦值等于(  )

A.B.

C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,三棱柱的所有棱長均為2,底面側面, 的中點, .

(1)證明: .

(2)若棱上一點,滿足,求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知點在橢圓上,且橢圓的離心率為.

(1)求橢圓的方程;

(2)若為橢圓的右頂點,點是橢圓上不同的兩點(均異于)且滿足直線斜率之積為.試判斷直線是否過定點,若是,求出定點坐標,若不是,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知命題:,為異面直線,平面過直線且與直線平行,則直線與平面的距離等于異面直線之間的距離為真命題.根據(jù)上述命題,若,為異面直線,且它們之間的距離為,則空間中與均異面且距離也均為的直線的條數(shù)為(

A.0B.1C.多于1條,但為有限條D.無數(shù)多條

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知橢圓分別為其左、右焦點,過的直線與此橢圓相交于兩點,且的周長為8,橢圓的離心率為

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)在平面直角坐標系中,已知點與點,過的動直線(不與軸平行)與橢圓相交于兩點,點是點關于軸的對稱點.求證:

i三點共線.

ii

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】智能手機的出現(xiàn),改變了我們的生活,同時也占用了我們大量的學習時間.某市教育機構從名手機使用者中隨機抽取名,得到每天使用手機時間(單位:分鐘)的頻率分布直方圖(如圖所示),其分組是: .

1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這名手機使用者中使用時間的中位數(shù)是多少分鐘? (精確到整數(shù))

2)估計手機使用者平均每天使用手機多少分鐘? (同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表)

3)在抽取的名手機使用者中在中按比例分別抽取人和人組成研究小組,然后再從研究小組中選出名組長.求這名組長分別選自的概率是多少?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案