如圖,已知曲線C:y=x
2(0≤x≤1),O(0,0),Q(1,0),R(1,1).取線段OQ的中點(diǎn)A
1,過A
1作x軸的垂線交曲線C于P
1,過P
1作y軸的垂線交RQ于B
1,記a
1為矩形A
1P
1B
1Q的面積.分別取線段OA
1,P
1B
1的中點(diǎn)A
2,A
3,過A
2,A
3分別作x軸的垂線交曲線C于P
2,P
3,過P
2,P
3分別作y軸的垂線交A
1P
1,RB
1于B
2,B
3,記a
2為兩個(gè)矩形A
2P
2B
2 A
1與矩形A
3P
3B
3B
1的面積之和.以此類推,記a
n為2
n-1個(gè)矩形面積之和,從而得數(shù)列{a
n},設(shè)這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S
n.
(I)求a
2與a
n;
(Ⅱ)求S
n,并證明S
n<
.
(I)
,
;(Ⅱ)見解析.
試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意先寫出
各點(diǎn)坐標(biāo),再分別求
,然后總結(jié)與曲線
交點(diǎn)坐標(biāo),從而再求
;(Ⅱ)由(Ⅰ)知
的表達(dá)式,先把
變形為差的形式,再求
表達(dá)式,利用等比數(shù)列前
項(xiàng)和公式求
,然后把
與
進(jìn)行比較,即得證.
試題解析:(I) 由題意知P
1(
,
),故a
1=
×
=
.
又P
2(
,
),P
3(
,
),
故a
2=
×[
+
-
]=
×(1
2+3
2-2
2)=
.
由題意,對(duì)任意的k=1,2,3,,n,有
(
,
),i=0,1,2,,2
k-1-1,
故a
n=
×[
+
-
+
-
++
-
]
=
×[1
2+3
2-2
2+5
2-4
2+…+(2
n-1)
2-(2
n-2)
2]
=
×{1+(4×1+1)+(4×2+1)+…+[4×(2
n-1-1)+1]}
=
×
=
.
所以a
2=
,a
n=
,n∈N*. 10分
(Ⅱ)由(I)知a
n=
,n∈N*,
故S
n=
-
=
-
=
.
又對(duì)任意的n∈N*,有
>0,
所以S
n=
?
<
. 14分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
在數(shù)列
中,
.
(1)求
;
(2)設(shè)
,求證:
為等比數(shù)列;
(3)求
的前
項(xiàng)積
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列
滿足:
,且
是
、
的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)
,求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知正項(xiàng)等比數(shù)列
滿足:
,若存在兩項(xiàng)
使得
,則
的最小值為
;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
若數(shù)列
滿足:
,則前6項(xiàng)的和
.(用數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
在等比數(shù)列
中,
,則能使不等式
成立的最大正整數(shù)
是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
為等比數(shù)列,若
和
是方程
+
+
=
的兩個(gè)根,則
=________.
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