【題目】如圖,多面體ABCDE中,AB=AC,平面BCDE⊥平面ABC,BE∥CD,CD⊥BC,BE=1,BC=2,CD=3,M為BC的中點.
(1)若N是棱AE上的動點,求證:DE⊥MN;
(2)若平面ADE與平面ABC所成銳二面角為60°,求棱AB的長.

【答案】
(1)證明:連結EM、AM、DM,

∵AB=AC,且M為BC的中點,∴AM⊥BC,

∵平面BCDE⊥平面ABC,∴AM⊥平面BCDE,∴AM⊥DE,

∵在直角梯形BCDE中,BE=1,BC=2,CD=3,

∴△DEM中,DE=2 ,EM= ,DM=

∴DE2+EM2=DM2,∴DE⊥EM,

又AM∩EM=M,∴DE⊥平面AEM,

∵MN平面AEM,∴DE⊥MN.


(2)解:取DE的中點P,則PM∥BE,

∵BE⊥BC,∴PM⊥BC,由(1)知,AM⊥平面BCDE,

∴MB、MA、MP兩兩垂直,如圖,建立空間直角坐標系M﹣xyz,

設AM=t,(t>0),則A(0,t,0),D(﹣1,0,3),E(1,0,1),

=(﹣1,﹣t,3), =(2,0,﹣2),

設平面ADE的一個法向量為 =(x,y,z),

,令x=t,則 =(t,2,t),

∵平面ABC的一個法向量 =(0,0,1),

∵二面角A﹣DE﹣B為60°,

∴|cos60°|=|cos< >|=| |= ,

解得t= ,此時AB=


【解析】(1)連結EM、AM、DM,推導出AM⊥DE,DE⊥EM,從而DE平面AEM,由此能證明DE⊥MN.(2)取DE的中點P,建立空間直角坐標系M﹣xyz,利用向量法能求出結果.
【考點精析】關于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關系,需要了解相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點才能得出正確答案.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) 的最小正周期為4π,則(
A.函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱
B.函數(shù)f(x)的圖象關于直線 對稱
C.函數(shù)f(x)圖象上的所有點向右平移 個單位長度后,所得的圖象關于原點對稱
D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上單調(diào)遞增

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)lnx﹣(x﹣a)2(a∈R). (Ⅰ)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,求a的取值范圍;
(Ⅱ)若f(x)有兩個極值點x1 , x2 , 求證:x1+x2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足cos2B﹣cos2C﹣sin2A=sinAsinB.
(1)求角C;
(2)若c=2 ,△ABC的中線CD=2,求△ABC面積S的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知向量 滿足| |=2,| |=1,則下列關系可以成立的而是(
A.( )⊥
B.( )⊥( +
C.( + )⊥
D.( + )⊥

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤ ),其圖象與直線y=﹣1相鄰兩個交點的距離為π,若f(x)>1對x∈(﹣ , )恒成立,則φ的取值范圍是(
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖所示,四面體ABCD中,已知平面BCD⊥平面ABC,BD⊥DC,BC=6,AB=4 ,∠ABC=30°.
(1)求證:AC⊥BD;
(2)若二面角B﹣AC﹣D為45°,求直線AB與平面ACD所成的角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】學生會為了調(diào)查學生對2018年俄羅斯世界杯的關注是否與性別有關,抽樣調(diào)查100人,得到如下數(shù)據(jù):

不關注

關注

總計

男生

30

15

45

女生

45

10

55

總計

75

25

100

根據(jù)表中數(shù)據(jù),通過計算統(tǒng)計量K2= ,并參考一下臨界數(shù)據(jù):

P(K2>k0

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.84

5.024

6.635

7.879

10.83

若由此認為“學生對2018年俄羅斯年世界杯的關注與性別有關”,則此結論出錯的概率不超過(
A.0.10
B.0.05
C.0.025
D.0.01

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若方程|x2﹣2x﹣1|﹣t=0有四個不同的實數(shù)根x1、x2、x3、x4,且x1<x2<x3<x4 , 則2(x4﹣x1)+(x3﹣x2)的取值范圍是(
A.(8,6
B.(6 ,4
C.[8,4 ]
D.(8,4 ]

查看答案和解析>>

同步練習冊答案