在如圖所示的多面體中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,EC⊥AC,EF∥AC,AB=,EF=EC=1,
⑴求證:平面BEF⊥平面DEF;
⑵求二面角A-BF-E的大小。
(1)見(jiàn)解析
(2)二面角的大小為

①證明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD,EC⊥AC,
∴EC⊥平面ABCD;連接BD交AC于點(diǎn)O,連接FO,
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為,∴AC=BD=2;
在直角梯形ACEF中,∵EF=EC=1,O為AC中點(diǎn),
∴FO∥EC,且FO=1;易求得DF=BF=,
DE=BE=,由勾股定理知 DF⊥EF,BF⊥EF,
∴∠BFD是二面角B-EF-D的平面角,
由BF=DF=,BD=2可知∠BFD=,
∴平面BEF⊥平面DEF ………………(6分)
⑵取BF中點(diǎn)M,BE中點(diǎn)N,連接AM、MN、AN,
∵AB=BF=AF=,∴AM⊥BF,
又∵M(jìn)N∥EF,EF⊥BF,∴MN⊥BF,
∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角。
易求得,;
在Rt△中,可求得,
∴在△中,由余弦定理求得,
 ……………………………(12分)
解法2:⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD,EC⊥AC,∴EC⊥平面ABCD;
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則
,,,,
,…(2分)
設(shè)平面BEF、平面DEF的法向量分別為
,則
 ①
 ②, ③, ④.
由①③③④解得,∴,…(4分)
,∴,故平面BEF⊥平面DEF…………(6分)
⑵設(shè)平面ABF的法向量為,∵
,,解得
,………(8分)∴……(10分)
由圖知,二面角A-BF-E的平面角是鈍角,故所求二面角的大小為
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證明你的結(jié)論.

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