Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中，．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：；

（3）設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）求出的導(dǎo)數(shù)，討論時(shí)，，在上遞增；當(dāng)時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大

于，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于，可得減區(qū)間；（2），可得，分別計(jì)算，，化簡(jiǎn)整理即可得證；（3）要證在區(qū)間上的最大值不小于，即證在上存在，，使得，運(yùn)用單調(diào)性和極值，化簡(jiǎn)整理即可得證．

試題解析：（1）解：由，可得．

下面分兩種情況討論：

①當(dāng)時(shí)，有恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；

②當(dāng)時(shí)，令，解得，或．

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

		0		0
		極大值		極小值

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，．

（2）證明：因?yàn)?/span>存在極值點(diǎn)，所以由（1）知，且，

由題意，得，即，

進(jìn)而，

又

,

即為，即有，即為．

（3）要證在區(qū)間上的最大值不小于，即證在上存在，，使得，

，

，

，，，

由于，成立．

綜上可得，在區(qū)間上的最大值不小于．