Question

已知函數(shù)，其中.
（1）若，求函數(shù)的極值；
（2）當時，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

（1）當時，函數(shù)有極小值；（2）當 時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，；當 時，函數(shù)在單調(diào)遞增；當 時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為，．

試題分析：（1）若，求函數(shù)的極值，把代入得函數(shù)，求它的極值，首先求定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，求出導(dǎo)數(shù)等于零點，及兩邊導(dǎo)數(shù)的符號，從而確定極值點；（2）當時，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由于含有指數(shù)函數(shù)，可通過求導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，因此先確定函數(shù)的定義域為，對函數(shù)求導(dǎo)，令，解不等式即可，但由于含有參數(shù)，需對參數(shù)討論，分，，三種情況討論，從而確定出單調(diào)區(qū)間．
（1）函數(shù)的定義域為，且.        1分
.           3分
令，得，當變化時，和的變化情況如下：

	↘	↘		↗

      5分
故的單調(diào)減區(qū)間為，；單調(diào)增區(qū)間為．
所以當時，函數(shù)有極小值.                      6分
（2）因為 ，所以 ，
所以函數(shù)的定義域為，             7分
求導(dǎo)，得，  8分
令，得，，                            9分
當 時，，
當變化時，和的變化情況如下：

	↗		↘		↗

故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，．  11分
當 時，，
因為，（當且僅當時，）
所以函數(shù)在單調(diào)遞增.                                     12分
當 時，，
當變化時，和的變化情況如下：

	↗		↘		↗

 
故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，．
綜上，當 時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，；當 時，函數(shù)在單調(diào)遞增；當 時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為，．                     13分