Question

如圖，圓O為單位圓，A（1，0），，，，E（0，1），為圓O上的定點，點M為圓O上的動點．M第一次由點A按逆時針方向運動到某定點，所形成的角為α；M第二次由點A按逆時針方向運動到某定點，所形成的角為β．
（Ⅰ） 當(dāng)點M第一次由點A按逆時針方向運動到定點C，第二次由點A按逆時針方向運動到定點D時，求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）在A、B、C、D、E、F中是否存在兩個點，能使角α，β同時滿足，且．若不存在，說明理由； 若存在，找出定點并證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)點M第一次由點A按逆時針方向運動到定點C時，所形成的角為α=，
第二次由點A按逆時針方向運動到定點D時，所形成的角為β=，
則cos（α-β）=cos
=cos（-）=coscos+sinsin=；
（Ⅱ）存在，當(dāng)點M第一次由點A按逆時針方向運動到定點B，
第二次由點A按逆時針方向運動到定點F時，角α=，β=，滿足題意，
理由如下：
由，得到+β=，
∵，
∴tan（+β）===-1，
∴tan+tanβ=2-2，
∴tan=-，tanβ=2-或tan=2-，tanβ=-，
當(dāng)=，β=，不滿足題意；
當(dāng)=，即α=，β=時，滿足題意，
則M第一次由點A按逆時針方向運動到某定點B，
第二次由點A按逆時針方向運動到定點F時滿足題意．
分析：（Ⅰ）根據(jù)C的坐標(biāo)及C在第一象限，得到tanα的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，即為α的度數(shù)；同理根據(jù)D的坐標(biāo)，及第二次由點A按逆時針方向運動到某定點D，得到β的度數(shù)，代入cos（α-β），把角變形為-，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求出值；
（Ⅱ）存在兩點B和F，滿足題意，理由為：由已知的α+2β的度數(shù)求出的度數(shù)，然后利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡tan（），把的值及的度數(shù)代入，求出的值，兩者聯(lián)立分別求出的值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得到α，β的度數(shù)，進(jìn)而找出對應(yīng)的點．
點評：此題考查了三角函數(shù)恒等式的證明，涉及的知識有兩角和與差的正切、余弦函數(shù)公式，點與坐標(biāo)系，銳角三角函數(shù)定義，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．