Question

如圖A，B是單位圓O上的點，且A，B分別在第一，二象限．C是圓與x軸正半軸的交點，△AOB為正三角形．若A點的坐標為（

3

5

，

4

5

）．記∠COA=α．
（Ⅰ）求

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

的值；
（Ⅱ）求cos∠COB的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據A點的坐標，由任意角的三角函數的定義，求出sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，利用二倍角公式把要求的式子化為

sin2α+2sinαcosα

3cos2α-1

，運算求得結果．
（Ⅱ）因為三角形AOB為正三角形，所以∠AOB=60°，由cos∠COB=cos（∠COA+60°）=cos（α+60°），再利用兩角和差的余弦公式求得結果．

解答：解：（Ⅰ）因為A點的坐標為（

3

5

，

4

5

），根據三角函數定義可知，sinα=

4

5

，cosα=

3

5

．

所以

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

=

sin2α+2sinαcosα

3cos2α-1

=20．

（Ⅱ）因為三角形AOB為正三角形，所以∠AOB=60°，
所以cos∠COB=cos（∠COA+60°）=cos（α+60°）=cosαcos60°-sinαsin60°=

3

5

×

1

2

-

4

5

×

3

2

=

3-4 3

10

．

點評：本題主要考查任意角的三角函數的定義，二倍角公式，兩角和差的余弦公式的應用，屬于中檔題．