如圖，圓O為單位圓，A（1，0），B(
3
2
，
1
2
)，C(
2
2
，
2
2
)，D(
1
2
，
3
2
)，E（0，1），F(-
1
2
，
3
2
)為圓O上的定點(diǎn)，點(diǎn)M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)．M第一次由點(diǎn)A按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到某定點(diǎn)，所形成的角為α；M第二次由點(diǎn)A按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到某定點(diǎn)，所形成的角為β．
（Ⅰ） 當(dāng)點(diǎn)M第一次由點(diǎn)A按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到定點(diǎn)C，第二次由點(diǎn)A按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到定點(diǎn)D時(shí)，求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）在A、B、C、D、E、F中是否存在兩個(gè)點(diǎn)，能使角α，β同時(shí)滿足α+2β=
3π
2
，且tan
α
2
tanβ=3-2
3
．若不存在，說明理由； 若存在，找出定點(diǎn)并證明．
分析：（Ⅰ）根據(jù)C的坐標(biāo)及C在第一象限，得到tanα的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，即為α的度數(shù)；同理根據(jù)D的坐標(biāo)，及第二次由點(diǎn)A按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到某定點(diǎn)D，得到β的度數(shù)，代入cos（α-β），把角
π
12
變形為
π
4
-
π
3
，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求出值；
（Ⅱ）存在兩點(diǎn)B和F，滿足題意，理由為：由已知的α+2β的度數(shù)求出
α
2
+β的度數(shù)，然后利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)tan（
α
2
+β），把tan
α
2
tanβ的值及
α
2
+β的度數(shù)代入，求出tan
α
2
+tanβ的值，兩者聯(lián)立分別求出tan
α
2
和tanβ的值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得到α，β的度數(shù)，進(jìn)而找出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M第一次由點(diǎn)A按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到定點(diǎn)C時(shí)，所形成的角為α=
π
4
，
第二次由點(diǎn)A按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到定點(diǎn)D時(shí)，所形成的角為β=
π
3
，
則cos（α-β）=cos
π
12

=cos（
π
4
-
π
3
）=cos
π
4
cos
π
3
+sin
π
4
sin
π
3
=
6
+
2
2
；
（Ⅱ）存在，當(dāng)點(diǎn)M第一次由點(diǎn)A按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到定點(diǎn)B，
第二次由點(diǎn)A按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到定點(diǎn)F時(shí)，角α=
π
6
，β=
2π
3
，滿足題意，
理由如下：
由α+2β=
3π
2
，得到
α
2
+β=
3π
4
，
∵tan
α
2
tanβ=3-2
3
，
∴tan（
α
2
+β）=
tan
α
2
+tanβ
1-tan
α
2
tanβ
=
tan
α
2
+tanβ
1- (3-2
3
)
=-1，
∴tan
α
2
+tanβ=2-2
3
，
∴tan
α
2
=-
3
，tanβ=2-
3
或tan
α
2
=2-
3
，tanβ=-
3
，
當(dāng)
α
2
=
2π
3
，β=
π
12
，不滿足題意；
當(dāng)
α
2
=
π
12
，即α=
π
6
，β=
2π
3
時(shí)，滿足題意，
則M第一次由點(diǎn)A按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到某定點(diǎn)B，
第二次由點(diǎn)A按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到定點(diǎn)F時(shí)滿足題意．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)恒等式的證明，涉及的知識(shí)有兩角和與差的正切、余弦函數(shù)公式，點(diǎn)與坐標(biāo)系，銳角三角函數(shù)定義，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，設(shè)P是單位圓和x軸正半軸的交點(diǎn)，M、N是單位圓上的兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，∠POM=
π
3
，∠PON=α，α∈[0，π]，f(α)=|
OM
+
ON
|，則f（a）的范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖A，B是單位圓O上的點(diǎn)，且A，B分別在第一，二象限．C是圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，△AOB為正三角形．若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（
3
5
，
4
5
）．記∠COA=α．
（Ⅰ）求
sin2α+sin2α
cos2α+cos2α
的值；
（Ⅱ）求cos∠COB的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計(jì)20分．請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點(diǎn)，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點(diǎn)E，求線段AE的長(zhǎng)．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ1=3及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α1=
1
1
，特征值λ2=-1及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α2=
1
-1
，求矩陣A的逆矩陣A-1．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度），已知點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（-2，6），點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(4，
π
2
)，直線l過點(diǎn)A且傾斜角為
π
4
，圓C以點(diǎn)B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c，d都是正數(shù)，且x=
a2+b2
，y=
c2+d2
．求證：xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，圓O為單位圓，A（1，0），數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式，E（0，1），數(shù)學(xué)公式為圓O上的定點(diǎn)，點(diǎn)M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)．M第一次由點(diǎn)A按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到某定點(diǎn)，所形成的角為α；M第二次由點(diǎn)A按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到某定點(diǎn)，所形成的角為β．
（Ⅰ） 當(dāng)點(diǎn)M第一次由點(diǎn)A按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到定點(diǎn)C，第二次由點(diǎn)A按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到定點(diǎn)D時(shí)，求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）在A、B、C、D、E、F中是否存在兩個(gè)點(diǎn)，能使角α，β同時(shí)滿足數(shù)學(xué)公式，且數(shù)學(xué)公式．若不存在，說明理由； 若存在，找出定點(diǎn)并證明．

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