如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，棱長(zhǎng)為4，E為面A1D1DA的中心，
CF=3FC1，AH=3HD，
（1）求異面直線EB1與HF之間的距離
（2）求二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值．
如圖建立直角坐標(biāo)系D1-xyz，則E（2，0，2），B1（4，4，0），H（1，0，4）
（1）
EB1
=（2，4，-2），
HF
=（-1，4，-3）
EH
=（-1，0，2），設(shè)
n
=（x，y，z）
n
•
EB1
=0
n
•
HF
=0
即
2x+4y-2z=0
-x+4y-3z=0

，取x=1，則z=-3，y=-2，
則
n
=（1，-2，-3）
異面直線EB1與HF之間的距離為
|
n
•
EH
|
|
n
|
=
|-1+0-6|
14
=
14
2

（2））
EB1
=（2，4，-2），
EA1
=（2，0，-2），
EH
=（-1，0，2），
設(shè)平面HB1E的法向量為
m1
=（x，y，z）
則
m1
•
EH
=0
m1
•
EB1
=0
即
2x+4y-2z=0
2x-2z=0
取x=2，則y=
1
2
，z=1．∴
m1
=（2，
1
2
，1）
令平面A1B1E的法向量為
m2
=（x，y，z）
則
m2
•
EB1
=0
m2
•
EA1
=0

取x=1，y=0，z=1，則為
m2
=（1，0，1）
∴|cos＜
m1
，
m2
＞|=
|
m1
•
m2
|
|m1|
|m2
|
=
42
7
．
∵二面角H-B1E-A為鈍二面角．
∴二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值為-
42
7
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，平面α上定點(diǎn)F到定直線l的距離FA=2，曲線C是平面α上到定點(diǎn)F和到定直線l的距離相等的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．設(shè)FB⊥α，且FB=2．
（1）若曲線C上存在點(diǎn)P0，使得P0B⊥AB，試求直線P0B與平面α所成角θ的大��；
（2）對(duì)（1）中P0，求點(diǎn)F到平面ABP0的距離h．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正方體AC1
（1）在BD上確定一點(diǎn)E，使D1E∥面A1C1B；
（2）求直線BB1和面A1C1B所成角的正弦值；
（3）求面A1C1B與底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每條棱長(zhǎng)均為a，M為棱A1C1上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)M在何處時(shí)，BC1∥平面MB1A，并證明之；
（2）在（1）下，求平面MB1A與平面ABC所成的二面角的大�。�
（3）求B-AB1M體積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，正三角形ABC按中線AD折疊，使得二面角B-AD-C的大小為60°，則∠BAC的余弦值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

正四棱錐的底面積為Q，側(cè)面積為P，側(cè)面與底面所成的二面角為α，則cosα=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α、β所成的角分別為
π
4
和
π
6
，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，若AB=12，求A′B′的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

A、B是直二面角α-l-β的棱l上的兩點(diǎn)，分別在α，β內(nèi)作垂直于棱l的線段AC，BD，已知AB=AC=BD=1，那么CD的長(zhǎng)為（　　）
A．1B．2C．
2
D．
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1=BC=2，且M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在CC1上．
（1）試確定點(diǎn)N的位置，使AB1⊥MN；
（2）當(dāng)AB1⊥MN時(shí)，求二面角M-AB1-N的大小．

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