【題目】如圖所示，在四棱錐 中，底面 為正方形， 平面 ，且 ，點(diǎn) 在線段 上，且 .

（Ⅰ）證明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵ 平面 ， 平面 ，
∴ .
又∵底面 為正方形，
∴ .
∵ ，
∴ 平面 .
∴ .
設(shè) 交 于點(diǎn) ，如圖，在 中，

∵ ， ， ，∴由余弦定理可得 .∴ .∴ .
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
又∵ 在平面 內(nèi)，∴平面 平面 ；
（Ⅱ）∵ 為正方形，且 平面 ，∴ ， ， .
以 點(diǎn)為原點(diǎn)， 分別為 軸、 軸、 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 ，如圖所示.

由題意知， ，且 .
則 ， ， ， ， ，
∴ ， ，
， ， .
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，
則 即
令 ，得 .
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，
則 即
令 ，得 .
∴二面角 的余弦值為 ，
于是二面角 的余弦值為
【解析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)定理即可得證 B D ⊥ P C，再由已知邊的關(guān)系利用余弦定理即可計(jì)算出 O E ⊥ P C，從而由線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得證結(jié)果。(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個(gè)向量的坐標(biāo)，設(shè)出平面BDE和平面PBD的法向量，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出法向量，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求出余弦值即可。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖， 為半圓 的直徑，點(diǎn) 是半圓弧上的兩點(diǎn)， ， ．曲線 經(jīng)過點(diǎn) ，且曲線 上任意點(diǎn) 滿足： 為定值.

（Ⅰ）求曲線 的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn) 的直線 與曲線 交于不同的兩點(diǎn) ，求 面積最大時(shí)的直線 的方程．

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（Ⅰ）求曲線 和直線 的普通方程；
（Ⅱ）若點(diǎn) 為曲線 上一點(diǎn)，求點(diǎn) 到直線 的距離的最大值.

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【題目】已知函數(shù) .
（1）討論 的單調(diào)性；
（2）若 有兩個(gè)極值點(diǎn) ， ，證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系 中，以原點(diǎn) 為極點(diǎn)，以 軸正半軸為極軸，圓 的極坐標(biāo)方程為 ．
（1）將圓 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）過點(diǎn) 作斜率為1直線 與圓 交于 兩點(diǎn)，試求 的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .
（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 的解集包含 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

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【題目】已知圓 與直線 相切.
（1）若直線 與圓 交于 兩點(diǎn)，求 ；
（2）設(shè)圓 與 軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為 ，過點(diǎn) 作兩條斜率分別為 的直線交圓 于 兩點(diǎn)，且 ，試證明直線 恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線 的焦點(diǎn)為F,直線 與x軸的交點(diǎn)為P,與拋物線的交點(diǎn)為Q,且 .
（1）求拋物線的方程;
（2）過F的直線l與拋物線相交于A,D兩點(diǎn),與圓 相交于B,C兩點(diǎn)(A,B兩點(diǎn)相鄰),過A,D兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,兩條切線相交于點(diǎn)M,求△ABM與△CDM的面積之積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(cosx)-x與函數(shù)g(x)=cos(sinx)-x在區(qū)間(0， )都為減函數(shù)，設(shè)x1,x2,x3∈(0， )，且cosx1=x1 ， sin(cosx2)=x2 ， cos(sinx3)=x3 ， 則x1,x2,x3的大小關(guān)系是（ ）
A.x1<x2<x3
B.x3<x1<x2
C.x2<x1<x3
D.x2<x3<x1

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