Question

【題目】己知函數(shù)在處的切線方程為，函數(shù).

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)的極值；

（3）設(shè)（表示，中的最小值），若在上恰有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）極小值，無極大值．（3）

【解析】

（1）先求得函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用切點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)在時切線的斜率也即導(dǎo)數(shù)列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得函數(shù)的解析式.（2）先求得的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對分成兩種情況，通過函數(shù)的單調(diào)性討論函數(shù)的極值.（3）先根據(jù)（1）判斷出有且僅有一個零點(diǎn)，故需在上有僅兩個不等于1的零點(diǎn).根據(jù)（2）判斷出當(dāng)時，沒有三個零點(diǎn)；當(dāng)時，通過零點(diǎn)存在性定理以及利用導(dǎo)數(shù)的工具作用，證得分別在，分別有個零點(diǎn)，符合題意.由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

解：（1）

因?yàn)?/span>在處的切線方程為

所以，

解得

所以

（2）的定義域?yàn)?/span>，

①若時，則在上恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，無極值

②若時，則當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；

所以當(dāng)時，有極小值，無極大值．

（3）因?yàn)?/span>僅有一個零點(diǎn)1，且恒成立，

所以在上有僅兩個不等于1的零點(diǎn)．

①當(dāng)時，由（2）知，在上單調(diào)遞增，

在上至多一個零點(diǎn)，不合題意，舍去

②當(dāng)時，，在無零點(diǎn)

③當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)等號成立，在僅一個零點(diǎn)

④當(dāng)時，，，所以，

又圖象不間斷，在上單調(diào)遞減

故存在，使

又

下面證明，當(dāng)時，

，在上單調(diào)遞增

所以，

又圖象在上不間斷，在上單調(diào)遞增，

故存在，使

綜上可知，滿足題意的的范圍是