【題目】已知函數(shù)f(x)= +lnx﹣3有兩個零點x1 , x2(x1<x2) (Ⅰ)求證:0<a<e2
(Ⅱ)求證:x1+x2>2a.
【答案】證明:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞), f′(x)= ,
①a≤0時,f′(x)≥0,
∴f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),
不可能有2個零點;
②a>0時,在區(qū)間(0,a)上,f′(x)<0,在區(qū)間(a,+∞)上,f′(x)>0,
∴f(x)在區(qū)間(0,a)遞減,在區(qū)間(a,+∞)遞增;
f(x)的最小值是f(a)=lna﹣2,
由題意得:有f(a)<0,則0<a<e2;
(Ⅱ)要證x1+x2>2a,只要證x2>2a﹣x1 ,
易知x2>a,2a﹣x1>a,
而f(x)在區(qū)間(a,+∞)遞增,
∴只要證明f(x2)>f(2a﹣x1),
即證f(x2)>f(2a﹣x1),
設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)﹣f(2a﹣x),
則g(a)=0,且區(qū)間(0,a)上,
g′(x)=f′(x)+f′(2a﹣x)= <0,
即g(x)在(0,a)遞減,
∴g(x1)>g(a)=0,
而g(x1)=f(x1)﹣f(2a﹣x1)>0,
∴f(x2)>f(2a﹣x1)成立,
∴x1+x2>2a.
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最小值,求出a的范圍即可;(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為證明f(x2)>f(2a﹣x1),設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)﹣f(2a﹣x),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=x ln x﹣ax2+(2a﹣1)x,a∈R.
(Ⅰ)令g(x)=f′(x ),求 g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)a≤0時,直線 y=t(﹣1<t<0)與f(x)的圖象有兩個交點A(x1 , t),B(x2 , t),且x1<x2 , 求證:x1+x2>2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x2+ax,g(x)=ex , a∈R且a≠0,e=2.718…,e為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)h(x)=f(x)g(x)在[﹣1,1]上極值點的個數(shù);
(Ⅱ)令函數(shù)p(x)=f'(x)g(x),若a∈[1,3],函數(shù)p(x)在區(qū)間[b+a﹣ea , +∞]上均為增函數(shù),求證:b≥e3﹣7.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解答題。
(1)已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線 x﹣ y+12=0相切.求橢圓C的方程;
(2)已知⊙A1:(x+2)2+y2=12和點A2(2,0),求過點A2且與⊙A1相切的動圓圓心P的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為4的菱形,∠ABC=60°,SA⊥平面ABCD,且SA=4,M在棱SA上,且AM=1,N在棱SD上且SN=2ND. (Ⅰ)求證:CN∥面BDM;
(Ⅱ)求直線SD與平面BDM所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為正方形,四邊形ABEF為直角梯形,且AF∥BE,AB⊥BE,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB=BE=2AF=2. (Ⅰ)求證:AC∥平面DEF;
(Ⅱ)若二面角D﹣AB﹣E為直二面角,
( i)求直線AC與平面CDE所成角的大;
( ii)棱DE上是否存在點P,使得BP⊥平面DEF?若存在,求出 的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=lg(1﹣x2),集合A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},則如圖中陰影部分表示的集合為( )
A.[﹣1,0]
B.(﹣1,0)
C.(﹣∞,﹣1)∪[0,1)
D.(﹣∞,﹣1]∪(0,1)
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