Question

某化工廠生產(chǎn)的某種化工產(chǎn)品，當(dāng)年產(chǎn)量在150噸至250噸之間，其生產(chǎn)的總成本y（萬元）與年產(chǎn)量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可近似地表示為y=

1

10

x2-30x+4000
問：
（1）年產(chǎn)量為多少噸時，每噸的平均成本最低？并求出最低成本？
（2）若每噸平均出廠價為16萬元，則年產(chǎn)量為多少噸時，可獲得最大利潤？并求出最大利潤？

Answer 1

分析：（1）利用總成本除以年產(chǎn)量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本的最小值．
（2）利用收入減去總成本表示出年利潤，通過配方求出二次函數(shù)的對稱軸，由于開口向下，對稱軸處取得最大值．

解答：解：（1）設(shè)每噸的平均成本為W（萬元/T），
則W=

y

x

=

x

10

+

4000

x

-30≥2

x 10 × 4000 x

-30=10，（4分）
當(dāng)且僅當(dāng)

x

10

=

4000

x

，x=200（T）時每噸平均成本最低，且最低成本為10萬元．（6分）
（2）設(shè)年利潤為u（萬元），
則u=16x-（

x2

10

-30x+4000）=-

x2

10

+46x-4000=-

1

10

（x-230）²+1290．（11分）
所以當(dāng)年產(chǎn)量為230噸時，最大年利潤1290萬元．（12分）

點評：本題考查將實際問題的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題、考查利用基本不等式求函數(shù)的最值需滿足：正、二定、三相等、考查求二次函數(shù)的最值關(guān)鍵看對稱軸．