【題目】某校高二八班選出甲、乙、丙三名同學(xué)參加級部組織的科學(xué)知識競賽.在該次競賽中只設(shè)成績優(yōu)秀和成績良好兩個等次,若某同學(xué)成績優(yōu)秀,則給予班級10分的班級積分,若成績良好,則給予班級5分的班級積分.假設(shè)甲、乙、丙成績?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為 , , ,他們的競賽成績相互獨(dú)立.
(1)求在該次競賽中甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名成績?yōu)閮?yōu)秀的概率;
(2)記在該次競賽中甲、乙、丙三名同學(xué)所得的班級積分之和為隨機(jī)變量ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ.

【答案】
(1)解:記“甲成績?yōu)閮?yōu)秀”為事件A,“乙成績優(yōu)秀”為事件B,“丙成績優(yōu)秀”為事件C,

“甲、乙、丙至少有一名成績?yōu)閮?yōu)秀”為事件E,

∵事件A、B、C是相互獨(dú)立事件,事件ABC與事件E是對立事件,

∴P(E)=1﹣P( )=1﹣ =


(2)解:ξ的所有可能取值為15,20,25,30,

P(ξ=15)=P( )= = ,

P(ξ=20)=P(A )+P( )+P( )= + + = ,

P(ξ=30)=P(ABC)= = ,

∴ξ的分布列為:

ξ

15

20

25

30

P

Eξ= =


【解析】(1)記“甲成績?yōu)閮?yōu)秀”為事件A,“乙成績優(yōu)秀”為事件B,“丙成績優(yōu)秀”為事件C,“甲、乙、丙至少有一名成績?yōu)閮?yōu)秀”為事件E,由事件A、B、C是相互獨(dú)立事件,事件ABC與事件E是對立事件,能求出在該次競賽中甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名成績?yōu)閮?yōu)秀的概率.(2)ξ的所有可能取值為15,20,25,30,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出ξ的分布列和Eξ.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識,掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)例子中,對于隨機(jī)變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量的分布列:一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布,簡稱分布列.

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男公務(wù)員

女公務(wù)員

生二胎

40

20

不生二胎

20

20


(1)是否有95%以上的把握認(rèn)為“生二胎與性別有關(guān)”,并說明理由;
(2)把以上頻率當(dāng)概率,若從社會上隨機(jī)抽取3位30到40歲的男公務(wù)員,記其中生二胎的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列,數(shù)學(xué)期望.
附:K2=

P(K2≥k0

0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

10.828

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