Question

（2013•嘉興一模）已知F為拋物線(xiàn)C：y²=4x焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線(xiàn)交x軸于點(diǎn)M，點(diǎn)N是拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)
（Ⅰ）如圖1，若MN的中垂線(xiàn)恰好過(guò)焦點(diǎn)F，求點(diǎn)N的y軸的距離
（Ⅱ）如圖2，已知直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于點(diǎn)P，Q，若在拋物線(xiàn)C上存在點(diǎn)R，使FPRQ為平行四邊形，試探究直線(xiàn)l是否過(guò)定點(diǎn)？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）由中垂線(xiàn)的性質(zhì)可得|NF|=|MF|=2，利用拋物線(xiàn)的定義可得x_N+1=2，得到x_N=1．即可求出點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離．
（II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線(xiàn)l：x=my+b．由FPRQ為平行四邊形，可得

QR

=

FP

．利用向量相等即可得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，再將直線(xiàn)l的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，從而得出定點(diǎn)．

解答：解：（I）∵M(jìn)N的中垂線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，∴|NF|=|MF|=2，
∴x_N+1=2，
∴x_N=1．即點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為1．
（II）焦點(diǎn)F（1，0），
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線(xiàn)l：x=my+b．
∵FPRQ為平行四邊形，∴

QR

=

FP

．
∴x₁+x₂=x_R+1，y₁+y₂=y_R．
∵點(diǎn)R在拋物線(xiàn)上，∴(y1+y2)2=4(x1+x2-1)，即

y

2 1

+

y

2 2

+2y1y2=4x1+4x2-4．
又點(diǎn)P，Q在拋物線(xiàn)上，∴y₁y₂=-2．由

y2=4x x=my+b

得y²-4my-4b=0，∴y₁y₂=-4b．∴-4b=-2，解得b=

1

2

．
∴直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(

1

2

，0)

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握拋物線(xiàn)的定義、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、向量相等、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．