(2013•嘉興一模)如圖,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD=
2
,AD=BD:EC丄底面ABCD,F(xiàn)D丄底面ABCD 且有EC=FD=2.
(Ⅰ)求證:AD丄BF;
(Ⅱ)若線段EC的中點(diǎn)為M,求直線AM與平面ABEF所成角的正弦值.
分析:(I)梯形ABCD中,根據(jù)勾股定理和等腰三角形的判定,可得∠ADB=90°即AD⊥BD,結(jié)合AD⊥DF利用線面垂直的判定定理,證出AD⊥平面BDF,進(jìn)而可得AD丄BF;
(II)過點(diǎn)M作MN⊥BE,垂足為N,連接NA,AC.利用線面垂直的判定與性質(zhì),證出MN⊥平面ABEF,從而得到∠MAN就是直線AM與平面ABEF所成角.Rt△BCE中利用相似算出MN=
3
3
,分別在Rt△ABC、Rt△ACM中運(yùn)用勾股定理,算出AM=
11
.最后在Rt△MAN中利用正弦的定義,即可算出直線AM與平面ABEF所成角的正弦值等于
33
33
解答:解:(I)∵BC⊥DC,BC=CD=
2

∴BD=
BC2+CD2
=2,且△BCD是等腰直角三角形,∠CDB=∠CBD=45°
∵平面ABCD中,AB∥DC,∴∠DBA=∠CBD=45°
∵AD=BD,可得∠DBA=∠BAD=45°
∴∠ADB=90°,即AD⊥BD
∵FD丄底面ABCD,AD?底面ABCD,∴AD⊥DF
∵BD、DF是平面BDF內(nèi)的相交直線,∴AD⊥平面BDF
∵BF?平面BDF,∴AD丄BF
(II)如圖,過點(diǎn)M作MN⊥BE,垂足為N,連接NA,AC
∵AB⊥BC,AB⊥EC,BC∩EC=E,∴AB⊥平面BEC
∵M(jìn)N?平面BEC,∴AB⊥MN,
結(jié)合MN⊥BE且BE∩AB=B,可得MN⊥平面ABEF
∴AN是AM在平面ABEF內(nèi)的射影,可得∠MAN就是直線AM與平面ABEF所成角
∵Rt△ABC中,AC=
AB2+BC2
=
10
,∴Rt△ACM中,AM=
AC2+CM2
=
11

∵△EMN∽△EBC,∴
MN
BC
=
EN
EC
MN
BC
=
EM
EB
,可得MN=
3
3

因此,在Rt△MAN中,sin∠MAN=
MN 
AM
=
33
33

即直線AM與平面ABEF所成角的正弦值是
33
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點(diǎn)評:本題給出由四棱錐與三棱錐組合而成的幾何體,求證線線垂直并求直線與平面所成角正弦值,著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和直線與平面所成角的求法等知識,屬于中檔題..
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2
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π
6
π
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1
2
x2-(2a+2)x+(2a+1)lnx

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(II)對任意的a∈[
3
2
5
2
],x1,x2∈[1,2]
,恒有|f(x1)|-f(x2)≤λ|
1
x1
-
1
x2
|
,求正實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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