Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作直線交軸于A點(diǎn)、交軸于B點(diǎn)，且P位于AB兩點(diǎn)之間.

（1）若，求直線的方程；

（2）求當(dāng)取得最小值時(shí)直線的方程；

（3）當(dāng)面積最小值時(shí)的直線方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

設(shè)直線可求出，．結(jié)合位于之間，建立關(guān)于的不等式，可得．

（1）由的坐標(biāo)，得出向量和坐標(biāo)，從而將化為關(guān)于的方程，解出值，即得直線的方程；

（2）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，得出關(guān)于的表達(dá)式，再用基本不等式得到取得最小值時(shí)的斜率，從而得到直線的方程．

（3）求出，再利用基本不等式求最小值，從而得到等號(hào)成立的條件，即，由此能求出當(dāng)面積最小值時(shí)的直線方程．

由題意知，直線的斜率存在且，

設(shè)，得令，得，所以，

再令，得，所以，

∵點(diǎn)位于兩點(diǎn)之間，∴且，解得．

∴，，

（1）∵，∴，解得．

∴直線的方程為，整理得．

（2）∵，∴，

當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．

∴當(dāng)取得最小值時(shí)直線的方程為，

化為一般式：．

（3）∵，，，

∴，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取等號(hào)，

∴當(dāng)面積最小值時(shí)的直線方程為，即．