Question

從1到9的九個數(shù)字中取三個偶數(shù)四個奇數(shù)，試問：
（1）能組成多少個沒有重復數(shù)字的七位數(shù)？
（2）上述七位數(shù)中三個偶數(shù)排在一起的有幾個？
（3）在（1）中任意兩偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個？

Answer 1

解：（1）由題意知本題是一個分步計數(shù)問題，
第一步在4個偶數(shù)中取3個，有C₄³種結(jié)果，
第二步在5個奇數(shù)中取4個，有C₅⁴種結(jié)果，
第三步得到的7個數(shù)字進行排列有A₇⁷種結(jié)果，
∴符合題意的七位數(shù)有C₄³C₅⁴A₇⁷=100800
（2）上述七位數(shù)中，三個偶數(shù)排在一起可以把三個偶數(shù)看成一個元素進行排列，
三個元素之間還有一個排列，有C₄³C₅⁴A₅⁵A₃³=14400
（3）上述七位數(shù)中偶數(shù)都不相鄰，可先把4個奇數(shù)排好，
再將3個偶數(shù)分別插入5個空檔，
共有A₅⁴C₄³A₅³=28800個
分析：（1）本題是一個分步計數(shù)問題，第一步在4個偶數(shù)中取3個，有C₄³種結(jié)果，第二步在5個奇數(shù)中取4個，有C₅⁴種結(jié)果，第三步得到的7個數(shù)字進行排列有A₇⁷種結(jié)果，根據(jù)分步計數(shù)原理得到結(jié)果．
（2）上述七位數(shù)中三個偶數(shù)排在一起可以把三個偶數(shù)看成一個元素進行排列，三個元素之間還有一個排列，得到結(jié)果
（3）上述七位數(shù)中偶數(shù)都不相鄰，可先把4個奇數(shù)排好，再將3個偶數(shù)分別插入5個空檔，利用分別計數(shù)原理得到結(jié)果．
點評：本題考查排列組合及簡單計數(shù)問題，本題解題的關(guān)鍵是對于要求相鄰的元素要采用捆綁法，對于不相鄰的元素要采用插空法，本題是一個比較典型的排列組合問題．