Question

從1到9的九個數字中取三個偶數四個奇數，試問：
（1）能組成多少個沒有重復數字的七位數？
（2）上述七位數中三個偶數排在一起的有幾個？
（3）在（1）中任意兩偶數都不相鄰的七位數有幾個？

Answer 1

分析：（1）本題是一個分步計數問題，第一步在4個偶數中取3個，有C₄³種結果，第二步在5個奇數中取4個，有C₅⁴種結果，第三步得到的7個數字進行排列有A₇⁷種結果，根據分步計數原理得到結果．
（2）上述七位數中三個偶數排在一起可以把三個偶數看成一個元素進行排列，三個元素之間還有一個排列，得到結果
（3）上述七位數中偶數都不相鄰，可先把4個奇數排好，再將3個偶數分別插入5個空檔，利用分別計數原理得到結果．

解答：解：（1）由題意知本題是一個分步計數問題，
第一步在4個偶數中取3個，有C₄³種結果，
第二步在5個奇數中取4個，有C₅⁴種結果，
第三步得到的7個數字進行排列有A₇⁷種結果，
∴符合題意的七位數有C₄³C₅⁴A₇⁷=100800
（2）上述七位數中，三個偶數排在一起可以把三個偶數看成一個元素進行排列，
三個元素之間還有一個排列，有C₄³C₅⁴A₅⁵A₃³=14400
（3）上述七位數中偶數都不相鄰，可先把4個奇數排好，
再將3個偶數分別插入5個空檔，
共有A₅⁴C₄³A₅³=28800個

點評：本題考查排列組合及簡單計數問題，本題解題的關鍵是對于要求相鄰的元素要采用捆綁法，對于不相鄰的元素要采用插空法，本題是一個比較典型的排列組合問題．