【題目】如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(Ⅰ)證明:平面ACD⊥平面ABC;
(Ⅱ)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D﹣AE﹣C的余弦值.

【答案】(Ⅰ)證明:如圖所示,取AC的中點O,連接BO,OD.
∵△ABC是等邊三角形,∴OB⊥AC.
△ABD與△CBD中,AB=BD=BC,∠ABD=∠CBD,
∴△ABD≌△CBD,∴AD=CD.
∵△ACD是直角三角形,
∴AC是斜邊,∴∠ADC=90°.
∴DO= AC.
∴DO2+BO2=AB2=BD2
∴∠BOD=90°.
∴OB⊥OD.
又DO∩AC=O,∴OB⊥平面ACD.
又OB平面ABC,
∴平面ACD⊥平面ABC.
(Ⅱ)解:設(shè)點D,B到平面ACE的距離分別為hD , hE . 則 =

∵平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,
= = =1.
∴點E是BD的中點.
建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設(shè)AB=2.
則O(0,0,0),A(1,0,0),C(﹣1,0,0),D(0,0,1),B(0, ,0),E
=(﹣1,0,1), = =(﹣2,0,0).
設(shè)平面ADE的法向量為 =(x,y,z),則 ,即 ,取 =
同理可得:平面ACE的法向量為 =(0,1, ).
∴cos = = =﹣
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值為
【解析】(Ⅰ)如圖所示,取AC的中點O,連接BO,OD.△ABC是等邊三角形,可得OB⊥AC.由已知可得:△ABD≌△CBD,AD=CD.△ACD是直角三角形,可得AC是斜邊,∠ADC=90°.可得DO= AC.利用DO2+BO2=AB2=BD2 . 可得OB⊥OD.利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可證明.
(Ⅱ)設(shè)點D,B到平面ACE的距離分別為hD , hE . 則 = .根據(jù)平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,可得 = = =1,即點E是BD的中點.建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)AB=2.利用法向量的夾角公式即可得出.
【考點精析】掌握平面與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】某商場為了解該商場某商品近5年日銷售量(單位:件),隨機抽取近5年50天的銷售量,統(tǒng)計結(jié)果如下:

日銷售量

100

150

天數(shù)

30

20

頻率

若將上表中頻率視為概率,且每天的銷售量相互獨立.則在這5年中:

(1)求5天中恰好有3天銷售量為150件的概率(用分式表示);

(2)已知每件該商品的利潤為20元,用X表示該商品某兩天銷售的利潤和(單位: 元),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】如圖,已知正四面體D﹣ABC(所有棱長均相等的三棱錐),P、Q、R分別為AB、BC、CA上的點,AP=PB, = =2,分別記二面角D﹣PR﹣Q,D﹣PQ﹣R,D﹣QR﹣P的平面角為α、β、γ,則( )

A.γ<α<β
B.α<γ<β
C.α<β<γ
D.β<γ<α

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【題目】對于無窮數(shù)列,給出下列命題:

①若數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列,則數(shù)列是常數(shù)列.

②若等差數(shù)列滿足,則數(shù)列是常數(shù)列.

③若等比數(shù)列滿足,則數(shù)列是常數(shù)列.

④若各項為正數(shù)的等比數(shù)列滿足,則數(shù)列是常數(shù)列.

其中正確的命題個數(shù)是( )

A. 1B. 2C. 3D. 4

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【題目】如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,ABBCDAC的中點,O為四邊形B1C1CB的對角線的交點,ACBC1.求證:

(1)OD∥平面A1ABB1;

(2)平面A1C1CA⊥平面BC1D

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【題目】共享單車已成為一種時髦的新型環(huán)保交通工具,某共享單車公司為了拓展市場,對兩個品牌的共享單車在編號分別為1,2,3,4,5的五個城市的用戶人數(shù)(單位:十萬)進行統(tǒng)計,得到數(shù)據(jù)如下:

城市品牌

1

2

3

4

5

品牌

3

4

12

6

8

品牌

4

3

7

9

5

(Ⅰ)若共享單車用戶人數(shù)超過50萬的城市稱為“優(yōu)城”,否則稱為“非優(yōu)城”,據(jù)此判斷能否有的把握認為“優(yōu)城”和共享單車品牌有關(guān)?

(Ⅱ)若不考慮其它因素,為了拓展市場,對品牌要從這五個城市選擇三個城市進行宣傳.

(i)求城市2被選中的概率;

(ii)求在城市2被選中的條件下城市3也被選中的概率.

附:參考公式及數(shù)據(jù)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】本題滿分14本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8

沙漏是古代的一種時裝置,它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成,開始時細沙全部在上部容器中,細通過連接管道全部到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時。如圖,某沙漏由上下兩個圓錐組成,圓錐的底面直徑和高均為8cm細沙全部在上部時,高度為圓錐高度的細管長忽略不

1如果該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙,則該沙漏的一個沙時為多少秒精確1秒?

2全部漏入下部,恰好堆成一蓋沙漏底的圓錐形沙,求此錐形高度精確0.1cm

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【題目】某電信公司從所在地的1000名使用4G手機用戶中,隨機抽取了20名,對其收集每日使用流量(單位:M)進行統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù):

流量x

0≤x<5

5≤x<10

10≤x<15

15≤x<20

20≤x<25

x≥25

人數(shù)

1

6

6

5

2

0

(1)估計這20名4G手機用戶每日使用流量(單位:M)的平均值;
(2)估計此地1000名使用4G手機用戶中每日使用流量不少于10M用戶數(shù);
(3)在15≤x<20和20≤x<25兩組用戶中,隨機抽取兩人作進一步問卷調(diào)查,求所抽取的兩人恰好來自不同組的概率.

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同步練習(xí)冊答案