Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a+c=3，b=

3

，sinC=2sinA．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=2cos（2x+B）+4cos²x，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

2

，π]上的值域．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用正弦定理，可將sinC=2sinA，轉(zhuǎn)化為c=2a，再利用余弦定理可求得cosB=

1

2

，從而可得B；
（Ⅱ）利用三角恒等變換，可化簡為f（x）=2

3

sin（2x-

π

3

）+2，由x∈[

π

2

，π]，可求得2x-

π

3

∈[

2π

3

，

5π

3

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

2

，π]上的值域．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理，由sinC=2sinA，得c=2a，又a+c=3，從而可得a=1，c=2，
又b=

3

，于是cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

．
由于0＜B＜π，所以B=

π

3

；  …（6分）
（Ⅱ）由已知得f(x)=2cos(2x+

π

3

)+2cos2x+2=3cos2x-

3

sin2x+2=-2

3

(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)+2=-2

3

sin(2x-

π

3

)+2，
因為x∈[

π

2

，π]，所以

2π

3

≤2x-

π

3

≤

5π

3

，
于是，當(dāng)2x-

π

3

=

2π

3

，即x=

π

2

時，f（x）取最小值-1；
當(dāng)2x-

π

3

=

3π

2

，即x=

11π

12

時，f（x）取最大值2+2

3

．
因此函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

2

，π]上的值域為[-1，2+2

3

]．…（12分）

點評：本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，突出考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與值域，屬于中檔題．