Question

已知數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，{b_n}是等差數(shù)列，b_n，

an

，b_n+2成等比數(shù)列，且a₁=3，a₃=15．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和為S_n，證明S_n＜

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由b_n，

an

，b_n+2成等比數(shù)列，得a_n=b_n•b_n+2．由已知得出b₁（b₁+2d）=a₁=3，（b₁+2d）（b₁+4d）=a₃=15，解出b₁，d；寫出通項(xiàng)公式
（2）由（1）得：a_n=n（n+2），求出

1

an

并將其裂成

1

an

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，求出前n項(xiàng)和為S_n，即證明．

解答： 解（1）由b_n，

an

，b_n+2成等比數(shù)列，得a_n=b_n•b_n+2．
設(shè){b_n}的公差為d，
∵a₁=3，a₃=15，
∴b₁（b₁+2d）=a₁=3，
（b₁+2d）（b₁+4d）=a₃=15，
解得：b₁=d=1或b₁=d=-1．
∴b_n=n或b_n=-n．…6′
（2）由（1）得：a_n=n（n+2），
∴

1

an

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
Sn=

1

2

n

i=1

(

1

i

-

1

i+2

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

．…12′．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法；考查數(shù)列求和的方法；錯(cuò)位相減及裂項(xiàng)求和是常考的求和方法．