Question

P為雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的右支上一點，M，N分別是（x+5）²+y²=4圓和（x-5）²+y²=1上的點，則|PM|-|PN|的最大值為                                    （　　）

• A、8
• B、9
• C、10
• D、7

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質,直線與圓的位置關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題設通過雙曲線的定義推出|PF₁|-|PF₂|=6，利用|MP|≤|PF₁|+|MF₁|，|PN|≥|PF₂|-|NF₂|，推出|PM|-|PN|≤|PF₁|+|MF₁|-|PF₂|-|NF₂|，求出最大值．

解答： 解：雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1，如圖：
∵a=3，b=4，c=5，
∴F₁（-5，0），F₂（5，0），
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=6，
∴|MP|≤|PF₁|+|MF₁|，|PN|≥|PF₂|-|NF₂|，
∴-|PN|≤-|PF₂|+|NF₂|，
所以，|PM|-|PN|≤|PF₁|+|MF₁|-|PF₂|+|NF₂|
=6+1+2
=9．
故選：B．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．