Question

已知橢圓（），圓：，過(guò)橢圓上任一與頂點(diǎn)不重合的點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，直線(xiàn)與軸、軸分別交于點(diǎn)，則          

Answer 1

解析考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)。
分析：設(shè)A（x_A，y_A ），B （x_B，y_B ），則可得切線(xiàn)PA、PB的方程，即可得到A，B 是x_P?x+y_P?y=b² 和圓x²+y²=b² 的交點(diǎn)，求出點(diǎn)M（b²/ x_P，0），N（0，b²/ y_P），從而得到的值。
解答：
設(shè)A（x_A，y_A ），B （x_B，y_B ），則切線(xiàn)PA、PB的方程分別為 x_A?x+y_A?y=1，
x_B?x+y_B?y=b²．由于點(diǎn)P 是切線(xiàn)PA、PB的交點(diǎn)，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足切線(xiàn)PA的方程，也滿(mǎn)足切線(xiàn)PAB的方程．
故A，B 是x_P?x+y_P?y=b² 和圓x²+y²=b² 的交點(diǎn)，
故點(diǎn)M（b²/ x_P，0），N（0，b²/ y_P），
又x_P² / a²+ y_P²/ b²=1，  = a²y_P²/ b⁴+ a²x_P²/ b⁴=（x_P² / a²+ y_P²/ b²）?a²/ b²= a²/ b²。
∴
= a²y_P²/ b⁴+ a²x_P²/ b⁴=（x_P² / a²+ y_P²/ b²）?a²/ b²= a²/ b²。
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，得到故A，B 是x_P?x+y_P?y=b² 和圓x²+y²=b² 的交點(diǎn)，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵。