Question

【題目】如圖，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，AB=CP=2，BC=3，∠P+∠B=π，記∠B=α．

（1）試用α表示AP的長(zhǎng)；
（2）求四邊形ABCP的面積的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)α的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ABC與△APC中，AB=CP=2，BC=3，∠B=α，∠P=π﹣α，

由余弦定理得，AC2=22+32﹣2×2×3cosα，①

AC2=AP2+22﹣2×AP×2cos（π﹣α），②

由①②得：AP2+4APcosα+12cosα﹣9=0，α∈（0，π），

解得：AP=3﹣4cosα

（2）解：∵AP=3﹣4cosα，α∈（0，π），

∴S四邊形ABCP=S△ABC﹣S△APC

= ×2×3sinα﹣ ×2×APsin（π﹣α）

=3sinα﹣（3﹣4cosα）sinα

=4sinαcosα=2sin2α，α∈（0，π），

則當(dāng)α= 時(shí)，Smax=2

【解析】（1）在三角形ABC中，由AB，BC及cosB，利用余弦定理列出關(guān)系式，記作①；在三角形APC中，由AP，PC及cosP，利用余弦定理列出關(guān)系式，記作②，由①②消去AC，得到關(guān)于AP的方程，整理后可用α表示AP的長(zhǎng)；（2）由三角形的面積公式表示出三角形ABC及三角形APC的面積，兩三角形面積之差即為四邊形ABCP的面積，整理后將表示出的AP代入，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出四邊形ABCP的面積的最大值，以及此時(shí)α的值．
【考點(diǎn)精析】掌握余弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道余弦定理:;;．